青木ゼミ青木2010東京大　理系数学６(１)

2010東京大　理系数学６(１)

第6問

　　四面体ＯABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、ＯA=3、ＯB=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt7\end{align*}}$ 、
　　AB=2であるとする。また、3点Ｏ、A、Bを含む平面をＬとする。

　(1) 点Cから平面Ｌに下ろした垂線の足をHとおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を用いて表せ。

　(2) 0＜ｔ＜1を満たす実数ｔに対して、線分ＯA、ＯB各々をｔ：1－ｔに内分する
　　　点をそれぞれP_t、Q_tとおく。2点P_t、Q_tを通り、平面Ｌに垂直な平面をＭと
　　　するとき、平面Ｍによる四面体ＯABCの切り口の面積S(ｔ)を求めよ。

　(3) ｔが0＜ｔ＜1の範囲を動くとき、S(ｔ)の最大値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$　とおく。

　　(1)
　　　　ＯA=3、ＯB=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt7\end{align*}}$ 、AB=2で、4つの面はすべて合同なので、

　　　　残りの辺の長さは、BC=3、CA=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt7\end{align*}}$ 、ＯC=2　（右図）．　
　　　　これらより、
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf AB} \ |^2=|\ \overrightarrow{\sf a} \ |^2-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+|\ \overrightarrow{\sf b} \ |^2\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ 4=9-2\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+7\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=6\end{align*}}$
　　　　他の内積も同様に求めると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=1\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=3\end{align*}}$

　　　　点Hは平面ＯAB上にあるので、実数ｕ、ｖを用いて、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=u\ \overrightarrow{\sf a}+v\ \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
　　　　と表せる。よって、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=u\ \overrightarrow{\sf a}+v\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$．
　　　　CHは平面ＯAB(平面Ｌ)と垂直なので、
　　　　　　　CH⊥ＯA　かつ　CH⊥ＯB．
　　　　内積を計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf a}= u|\ \overrightarrow{\sf a}\ |^2+v\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 9u+6v-3=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}\cdot\overrightarrow{\sf b}= u\ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+v\ |\ \overrightarrow{\sf b}\ |^2-\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 6u+7v-1=0\end{align*}}$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u=\frac{5}{9}\ ,\ v=-\frac{1}{3}\end{align*}}$．
　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OH}=\frac{5}{9}\ \overrightarrow{\sf OA}-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OB}\ \ }\end{align*}}$

　　(1)はよくあるパターンなので軽く処理してください。
　　ｖの値が負になって少し焦るかもしれませんがｗｗ
　　
　　次の(2)、(3)は、かなり長くなってしまうので、次の記事で。
　　その前に少し準備をしておきます。
　　　

　　　　(1)より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CH}=\frac{5}{9}\ \overrightarrow{\sf a}-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf CH}|^2=\frac{25}{81}\ |\overrightarrow{\sf a}|^2+\frac{1}{9}\ |\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2-\frac{10}{27}\ \overrightarrow{\sf a}\cdot \overrightarrow{\sf b}+\frac{2}{3}\ \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-\frac{10}{9}\ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{25}{9}+\frac{7}{9}+4-\frac{20}{9}+\frac{2}{3}-\frac{10}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{3}\end{align*}}$．
　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf CH=\frac{2\sqrt6}{3}\end{align*}}$

　　　　一方、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\frac{5}{9}\ \overrightarrow{\sf OA}-\frac{1}{3}\ \overrightarrow{\sf OB}=\frac{2}{9}\cdot\frac{5\overrightarrow{\sf OA}-3\overrightarrow{\sf OB}}{2}\end{align*}}$
　　　　と変形できるので、ABを3：5に外分する点をDとすると、
　　　　HはＯDを2：7に内分する点となる（右図）。

　　　　ここで、Hを通りABと平行な直線が、ＯA、ＯBと交わる
　　　　点をそれぞれ、P₀、Q₀とすると、
　　　　　　△ＯP₀Q₀∽△ＯAB　（相似比2：9）
　　　　となるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_0Q_0=\frac{2}{9}\ AB=\frac{4}{9}\end{align*}}$

　　(2)　
　　　(ⅰ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt t<\frac{2}{9}\end{align*}}$ のとき
　　　　　　P_t、Q_tは、それぞれ線分ＯP₀、ＯQ₀上にあるので、平面Ｍは辺ＯC
　　　　　　と交わる（下図）。
　　　　　　平面ＭとＯD、ＯCとの交点をH_t、C_tとすると、求める切り口は
　　　　　　三角形C_tP_tQ_tとなる。

　　　　　　　　　　
　　　　　　△C_tP_tQ_t ∽ △CP₀Q₀で、
　　　　　　　　相似比は、ＯP_t：ＯP₀=ｔ： $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9}\end{align*}}$ =9ｔ： 2
　　　　　　　　面積比は、△C_tP_tQ_t ： △CP₀Q₀=81ｔ²： 4
　　　　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\triangle C_t P_t Q_t=\frac{81t^2}{4}\ \triangle CP_0Q_0\end{align*}}$
　　　　　　①、②より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle C P_0 Q_0=\frac{4}{9}\times \frac{2\sqrt6}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{4}{27}\sqrt6\end{align*}}$
　　　　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=3\sqrt6\ t^2\end{align*}}$

　　　(ⅱ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9}\leqq t<1\end{align*}}$ のとき
　　　　　　P_t、Q_tは、それぞれ線分AP₀、BQ₀上にあるので、
　　　　　　平面Ｍは辺ＯA、ＯBと交わる（下図）。
　　　　　　平面ＭとCA、CB、CD、ＯDとの交点をそれぞれＵ_t、V_t、C_t、H_t
　　　　　　とすると、求める切り口は台形Ｕ_tP_tQ_tV_tとなる。

　　　　　　　　　　
　　　　　　△ＯP_tQ_t ∽ △ＯABで、
　　　　　　　　　相似比は、ＯP_t：ＯA=ｔ： 1
　　　　　　　　　よって、P_tQ_t=ｔAB=2ｔ
　　　　　　△ＯＵ_tV_t ∽ △CABで、
　　　　　　　　　相似比は、CＵ_t：CA= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(t-\frac{2}{9}\right)\ :\ \frac{7}{9}\end{align*}}$ =(9ｔ－2)：7
　　　　　　　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf U_tV_t=\frac{9t-2}{7}\ AB=\frac{2}{7}\ (9t-2)\end{align*}}$
　　　　　　△C_tH_tD ∽ △CHDで、
　　　　　　　　　相似比は、DH_t：DH= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1-t\right)\ :\ \frac{7}{9}\end{align*}}$ =9(ｔ－1)：7
　　　　　　　　　これと①より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_t H_t=\frac{9(t-1)}{7}\ CH=\frac{6}{7}\sqrt6\ (1-t)\end{align*}}$

　　　　　　　　　よって、台形Ｕ_tP_tQ_tV_tの面積S(ｔ)は、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\begin{Bmatrix}\sf 2t+\frac{2}{7}\ (\sf 9t-2) \end{Bmatrix}\times \frac{6}{7}\sqrt6(1-t)\times\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{12}{49}\sqrt6\ (1-t)(8t-1)\end{align*}}$

　　　　(ⅰ)、(ⅱ)より、
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S\ (t)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf 3\sqrt6\ t^2 & (\sf 0\lt t<\frac{2}{9}) \\ \\ \frac{12}{49}\sqrt6\ (\sf 1-t)(\sf 8t-1) & (\sf \frac{2}{9}\leqq t<1) \\\end{array} \right.\ \ }\end{align*}}$

　　(3)
　　　　(2)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{9}\leqq t<1\end{align*}}$ のとき
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\frac{12}{49}\sqrt6\ (-8t^2+9t-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{96}{49}\sqrt6\ \left(t-\frac{9}{16}\right)^2+\frac{3}{8}\ \sqrt6\end{align*}}$

　　　　0＜ｔ＜1の範囲でS(ｔ)のグラフを描くと右図の通り。
　　　　

　　　　よって、S(ｔ)の最大値は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{9}{16}\end{align*}}$ 　のとき、　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{3}{8}\sqrt6\ \ }\end{align*}}$

　　(3)はオマケですね。
　

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