④ 2、3　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\lt m<\sqrt3\end{align*}}$　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\sqrt{m^2+1}}-1\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m}{2m-1}\end{align*}}$

【解説】

　(4)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{\pi}{n+2}\end{align*}}$ とおくと、n＞0よりt＞0である。
　　　このとき、与式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^3-\frac{7}{3}t+\frac{2}{3}\sqrt3<0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^3-7t+2\sqrt3<0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t+\sqrt3 \right)\left(\sqrt3t-1 \right)\left(\sqrt3t-2 \right)<0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt3}\lt t<\frac{2}{\sqrt3}\ \ \ \ \left(\because t>0 \right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt3}<\tan\frac{\pi}{n+2}<\frac{2}{\sqrt3}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}=\tan\frac{\pi}{6}\end{align*}}$　　　　　および　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1<\frac{2}{\sqrt3}<\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\frac{\pi}{4}<\frac{2}{\sqrt3}<\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
　　　より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{n+2}=\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{\pi}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n=2\ ,\ 3}\end{align*}}$
　　　となる。


　(5)
　　　円Cの中心OからL：mx－y+2=0まで距離をdとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{m^2+1}}\end{align*}}$
　　　であり、CとLが共有点を持たないとき、 d＞Cの半径 となるので
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\sqrt{m^2+1}}>1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^2>m^2+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -\sqrt3\lt m<\sqrt3}\end{align*}}$ ．
　　　となる。
　　　また、右図より、
　　　　　　PQ≧OQ－OP=OQ－1≧d－1
　　　なので、PQの最小値は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d-1=\underline{\ \frac{2}{\sqrt{m^2+1}}-1}\end{align*}}$
　　　である。


　(6)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^nk^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n^{1+\frac{m-1}{m}}}\sum_{k=1}^nk^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1x^{\frac{m-1}{m}}dx\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{m}{2m-1}x^{\frac{2m-1}{m}} \right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{m}{2m-1}}\end{align*}}$




　　(6)、は区分求積法ですね。