① 1－rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　② rsin$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+r^2-2r\cos\theta}\end{align*}}$　

　　④ r+2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$　　　　　　⑥ 1　　　　⑦ 0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12} \end{align*}}$

【解説】

　　　Qからx軸に垂線QHを下ろすと、△PQHにおいて
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=r\sin\theta\ \ ,\ \ PH=r\cos\theta\end{align*}}$
　　　なので、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\underline{\ \left(1-r\cos\theta\ ,\ r\sin\theta\right)}\end{align*}}$ ．

　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=|\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(1-r\cos\theta\right)^2+\left(r\sin\theta\right)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{1+r^2-2r\cos\theta}}\end{align*}}$ ．

　　　両辺＞0より、両辺を2乗すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2=1+r^2-2r\cos\theta\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-k^2=\underline{\ \left(2\cos\theta-r\right) r}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (1-k)(1+k)=\left(2\cos\theta-r\right) r\end{align*}}$　……(ア)
　　　点Qが角$\scriptsize\sf{\theta}$ を一定に保ったままPに近づくとき、
　　　　　　　　OQ→OP　より　k→1
　　　　　　　　PQ→0　より　r→0
　　　なので、①より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\lim_{k\rightarrow 1}\frac{r}{1-k}=\lim_{k\rightarrow 1}\frac{1+k}{2\cos\theta-r}=\frac{1+1}{2\cos\theta-0}=\underline{\ \frac{1}{\cos\theta}} \end{align*}}$ ．

　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}f\ (\theta)=\lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{\cos 0}=\underline{\ 1} \end{align*}}$ ．

　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\frac{1}{\cos\theta}<2\sqrt{2-\sqrt3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta>\frac{1}{2\sqrt{2-\sqrt3}}\end{align*}}$　　……(イ)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\theta>\frac{1}{4\left(2-\sqrt3\right)}=\frac{2+\sqrt3}{4}\end{align*}}$　　←(イ)の両辺＞0より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1+\cos2\theta}{2}>\frac{2+\sqrt3}{4}\end{align*}}$　　←半角公式　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos2\theta>\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$　　……(ウ)
　　　0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、(ウ)を満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ の範囲は、　　
　　　　　　　　0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12} \end{align*}}$
　　　である。




　　「点Qが角$\scriptsize\sf{\theta}$ を一定に保ったままPに近づける」の意味わかります？？