第1問
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{\log x}{x^2}dx=-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}+C\end{align*}}$ を利用して、不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$
を求めよ。ただし、Cは積分定数とする。
(2) x＞0のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{4x^{\frac{1}{4}}}{e}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。
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【解答】
(1)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int\left(-\frac{1}{x}\right)'\left(\log x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2-\int\left(-\frac{1}{x}\right)\cdot 2\left(\log x\right)\cdot \frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\left(\log x\right)^2}{x}+2\int\frac{\left(\log x\right)^2}{x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{\left(\log x\right)^2}{x}-\frac{2\log x}{x}-\frac{2}{x}+C}\end{align*}}$ ←題意より
(2)
xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{4}{e}\ x^{\frac{1}{4}}-\log x\ \ \ \ (x>0)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{e}\ x^{-\frac{3}{4}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{e\ x}\left(x^{\frac{1}{4}}-e\right)\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、x＞0でつねにf(x)≧0となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4x^{\frac{1}{4}}}{e}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
は成り立つ。（等号成立は、x=e4のとき）
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx=\left[-\frac{\left(\log x\right)^2}{x}-\frac{2\log x}{x}-\frac{2}{x} \right]_1^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\left(\log n\right)^2}{n}-\frac{2\log n}{n}-\frac{2}{x}+2\end{align*}}$ ……①
n→∞よりlogn＞0としてよいので、(2)の結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\left(\log n\right)^2}{n}\leqq \frac{1}{n}\left(\frac{4}{e}\ n^{\frac{1}{4}}\right)^2=\frac{16}{e\ n^{\frac{1}{2}}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\log n}{n}\leqq \frac{1}{n}\cdot\frac{4}{e}\ n^{\frac{1}{4}}=\frac{4}{e\ n^{\frac{3}{4}}} \end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{16}{e\ n^{\frac{1}{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{e\ n^{\frac{3}{4}}} =0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\log n\right)^2}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log n}{n}=0\end{align*}}$ ．
よって、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx=\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
(3)は、(1)(2)の結果をうまく使いましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/29(木) 02:01:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2014（全学部）
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