① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{15}{4}\end{align*}}$　　　　③ 15　　　　④ 18　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{12}\end{align*}}$　　　　

　　⑥ 3：7：2　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$　　　　⑧ 2　　　　⑨ 11　　　　⑩ 2　　　　


【解説】

　(1)
　　　4数の選び方の総数は、₆C₄=15通り
　　　　【X=2】
　　　　　　 1と2が選ばれ、3～6より2つが選ばれる
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_2}{15}=\underline{\ \frac{2}{5}}\end{align*}}$
　　　　【X=3】
　　　　　　 3が選ばれ、1～2より1つ、4～6より2つ選ばれる
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\cdot _3C_2}{15}=\frac{2}{5}\end{align*}}$
　　　　【X=4】
　　　　　　 4、5、6が選ばれ、1～3より1つ選ばれる
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_3C_1}{15}=\frac{1}{5}\end{align*}}$
　　　　X=1、X=5、X=6の場合はあり得ないので、Xの期待値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\times \frac{2}{5}+3\times\frac{2}{5}+4\times\frac{1}{5}=\underline{\ \frac{14}{5}}\end{align*}}$ ．


　(2)
　　　両辺＞0より、常用対数をとると、
　　　　　　　　log₁₀9^N＜log₁₀2⁵⁰
　　　　　　⇔　2N・log₁₀3＜50log₁₀2
　　　　　　⇔　0.9542N＜15.05
　　　　　　⇔　N＜15.77……
　　　よって、これを満たす最大の自然数Nは15である。
　　　さらに
　　　　　　　　log₁₀15¹⁵
　　　　　　　=15log₁₀15
　　　　　　　=15(log₁₀3+log₁₀10－log₁₀2)
　　　　　　　=15×(0.4771+1－0.3010)
　　　　　　　=17.64……
　　　より、
　　　　　　　　17＜log₁₀15¹⁵＜18
　　　　　　⇔　10¹⁷＜15¹⁵＜10¹⁸
　　　なので、15¹⁵は18桁の自然数である。


　(3)
　　　与式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 7\overrightarrow{\sf PA}+2\overrightarrow{\sf PB}+3\overrightarrow{\sf PC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -7\overrightarrow{\sf AP}+2\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AP}\right)+3\left(\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AP}\right)=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}=\underline{\ \frac{2\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{12}}=\frac{5}{12}\cdot\frac{2\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{2+3}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、BCを3：2に内分する点をDとすると、
　　　PはADを5：7に内分する点である。
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\triangle PAB=\frac{5}{12}\triangle ABD=\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{5}\triangle ABC=\frac{1}{4}\triangle ABC\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3=\triangle PCA=\frac{5}{12}\triangle ACD=\frac{5}{12}\cdot\frac{2}{5}\triangle ABC=\frac{1}{6}\triangle ABC\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3=\triangle PBC=\triangle ABC-S_1-S_2=\frac{7}{12}\triangle ABC\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1:S_2:S_3=\frac{1}{4}:\frac{7}{12}:\frac{1}{6}=\underline{\ 3:7:2}\end{align*}}$

　(4)
　　　与式は、
　　　　　　　　2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －1=0
　　　　　　⇔　(2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －1)(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +1)=0
　　　　　　⇔　sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　または　cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =－1
　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ より、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ が解となる。


　(5)
　　　与えられた楕円をEとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+4y^2+6x-40y+101=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+3\right)^2+4\left(y-5\right)^2=8\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(x+3\right)^2}{8}+\frac{\left(y-5\right)^2}{2}=1\end{align*}}$
　　　と変形できるので、E上の点(－1，6)における接線Lの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(-1+3)\left(x+3\right)}{8}+\frac{(6-5)\left(y-5\right)}{2}=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x+2y=11}\end{align*}}$
　　　である。
　　　また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{8-2}=\sqrt6\end{align*}}$ より、Eの2つの焦点は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-3+\sqrt6\ ,\ 5\right)\ \ ,\ \ \left(-3-\sqrt6\ ,\ 5\right)\end{align*}}$
　　　である。よって、これらからLのでの距離の積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|-3+\sqrt6+10-11\ |}{\sqrt{1+2^2}}\cdot\frac{|-3-\sqrt6+10-11\ |}{\sqrt{1+2^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(4-\sqrt6\right)\left(4+\sqrt6\right)}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2}\end{align*}}$





　　どれも基本的な問題ばかりです。落とさないように！