① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$　　　　③ 6　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　

　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{n-2}}\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3}{4^n}\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3}{3}\end{align*}}$


【解説】

　(1)
　　　題意より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix} \sf 4\sqrt3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A=\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 4\sqrt3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4 \end{pmatrix}^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16\sqrt3}\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4\sqrt3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ r=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \theta=\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$


　(2)
　　　(1)より、行列Aは、
　　　　　　「原点中心に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ回転し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 倍に縮小する移動」
　　　を表すので、行列Aⁿは
　　　　　　「原点中心に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{3}\pi\end{align*}}$ だけ回転し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^n}\end{align*}}$ 倍に縮小する移動」　……(*)
　　　を表す。よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=kE\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2^n}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{n}{3}\pi&\sf -\sin\frac{n}{3}\pi \\ \sf \sin\frac{n}{3}\pi & \sf \cos\frac{n}{3}\pi \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} \sf \cos 0&\sf -\sin 0 \\ \sf \sin 0 & \sf \cos 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となる。成分を比較するとき、一般角で考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{3}\pi=2m\pi\end{align*}}$　（m：整数）
　　　なので、これを満たすような最小の自然数nは、n=6である。

　　　一方、Aについてハミルトン・ケーリ－の定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right)A+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\right)=O\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A^2=\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}E\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ t=\frac{1}{4}}\end{align*}}$


　(3)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}= A^{n-1} \binom{2}{0}\end{align*}}$ によって定められる点P_nは、(*)より、
　　　点P₁を原点中心に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{3}\pi\end{align*}}$ だけ回転し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ 倍に縮小した点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP_n}|=\frac{1}{2^{n-1}}|\overrightarrow{\sf OP_1}|=\underline{\ \frac{1}{2^{n-2}}\ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP_{n+1}}|=\frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}\end{align*}}$ のなす角は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n-2}}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\underline{\ \frac{2\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
　　　となる。さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nS_k= \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{2\sqrt3}{4}\cdot\frac{1-\left( \frac{1}{4}\right)^n}{1-\frac{1}{4}}=\underline{\ \frac{2\sqrt3}{3}}\end{align*}}$
　　　である。




　　行列Aが、「原点中心の回転+拡大」を表すことに気づきましょう。