第5問
Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P、Q、RがAを時刻ｔ=0
に出発し、C上を各々一定の速さで、P、Qは反時計回りに、Rは時計回りに、
時刻ｔ=2$\small\sf{\pi}$ まで動く。P、Q、Rの速さは、それぞれｍ、1、2であるとする。
（したがって、QはCをちょうど一周する。）ただし、ｍは1≦ｍ≦10を満たす
整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ
ｍと時刻ｔの組をすべて求めよ。
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【解答】
3点P、Q、Rが、時刻ｔまでに点Aから動いた角度は、
左回りを正として測ると、それぞれ
ｍｔ、ｔ、－2ｔ
と表せる。
△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるためには、
∠QＯR=90°･･･(A)
かつ
∠PＯR=180°･･･(B)
になればよい。
まず、(A)について
∠QＯR=ｔ－(－2ｔ)=3ｔなので、
ｎを整数として一般角で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3t=\frac{\pi}{2}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{\pi}{6}+\frac{2n\pi}{3}\end{align*}}$ ･･･①
ここで、0≦ｔ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、この範囲で①を満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ \ ,\ \frac{5\pi}{6}\ ,\ \frac{7\pi}{6}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\ ,\ \frac{11\pi}{6}\end{align*}}$
(B)について
∠PＯR=ｍｔ－(－2ｔ)=(ｍ+2)ｔなので、
ｋを整数として一般角で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m+2)t=\pi+2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{(2k+1)\ \pi}{t}-2\end{align*}}$ ･･･②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a)\ \ t=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より ｍ=6(2ｋ+1)－2=12ｋ+4
1≦ｍ≦10より、ｍ=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b)\ \ t=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、②より ｍ=2(2ｋ+1)－2=4ｋ
1≦ｍ≦10より、ｍ=4、8
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (c)\ \ t=\frac{7\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{5}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が5の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (d)\ \ t=\frac{7\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{7}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が7の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (e)\ \ t=\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2(2k+1)}{3}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が3の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4、8
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (f)\ \ t=\frac{11\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{11}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が11の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4
以上より、条件を満たすｍ、ｔの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m\ , t)=\ \left(4\ ,\frac{\pi}{6}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(8\ ,\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{5\pi}{6}\right)\ ,\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(4\ ,\frac{7\pi}{6}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{3\pi}{2}\right)\ ,\ \left(8\ ,\frac{3\pi}{2}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{11\pi}{6}\right)\ \ }\end{align*}}$
考え方は難しくないでしょうが、計算が面倒ですね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/19(月) 01:15:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 理系 2010
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