① n²　　　　② n²+2n　　　　③ n(n+1)(2n+1)　　　　④ 7

　　⑤ 44　　　　⑥ 79　　　　⑦ 1　　　　⑧ 34　　　　⑨ 59290　　　　


【解説】

　(1)
　　　各群の最初には、1，4，9，16，25，…と、平方数が順に並ぶので、
　　　第n群の最初の数はn²である。
　　　よって、第n+1群の最初の数は(n+1)²なので、第n群の最後の数は、
　　　　　　　(n+1)²－1=n²+2n
　　　である。

　(2)
　　　(1)より、第n群は、初項n²、末項n²+2n、項数2n+1の等差数列を
　　　なすので、その和は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(2n+1\right)\left\{n^2+(n^2+2n) \right\}=\underline{\ n(n+1)(2n+1)\ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{(n+2)(2n+3)}{n(2n+1)}<\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(n+2)(2n+3)<3n(2n+1)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2n^2-11n-12<0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{11-\sqrt{217}}{4}\ ,\ \frac{11+\sqrt{217}}{4}\lt n\end{align*}}$
　　　となり、n＞0および$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 14\lt\sqrt{217}\lt 15\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6.25<\frac{11+\sqrt{217}}{4}<6.5\end{align*}}$
　　　なので、題意を満たす最小の自然数nは、n=7である。

　(3)
　　　2014が第k群に属するとすると、
　　　　　　　　k²≦2014＜(k+1)² ．
　　　これを満たす自然数はk=44なので、2014は第44群に属する。
　　　第44群の最初の数は44²=1936なので、2014は
　　　　　　　　2014－1936+1=79番目
　　　である。

　(4)
　　　まず、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt \sqrt3\lt 2\end{align*}}$ より、a₃=1
　　　第n群に属する数をNとすると、(1)より、Nはn²≦N＜(n+1)²を
　　　満たすため、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{N}\end{align*}}$ の整数部分はすべてnになる。
　　　よって、数列a_nの項は
　　　　　　|1，1，1｜2，2，2，2，2｜3，3，3，3，3，3，3｜4，…
　　　となる。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{15}a_k=1\cdot3 +2\cdot 5+3\cdot 7=\underline{\ 34}\end{align*}}$ ．
　　　また(3)より、もとの数列において2014は第44群の79番目の数
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{2014}a_k=\left(1\cdot3 +2\cdot 5+3\cdot 7+\ldots 43\cdot 87\right)+44\cdot 79\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{K=1}{43}K(2K+1)+3476\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{6}\cdot 43\cdot 44\cdot 87+\frac{1}{2}\cdot 43\cdot 44+3476\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 59290}\end{align*}}$




　　(4)は、a₁、a₂、a₃、……と、項を具体的に求めていくと、
　　(1)～(4)との関係が見えてくると思います。