2014関西大 理系（2月5日） 数学１

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【解答】

　(1)
　　　商の微分法を用いて、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x) =\frac{-\sin x\left(2+\sin x\right)-\cos^2x}{\left(2+\sin x \right)^2}=\underline{\ -\frac{1+2\sin x}{\left(2+\sin x\right)^2}}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より、0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でf’(x)となるのは、
　　　　　　　　1+2sinx=0　すなわち　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6} \pi\ ,\ \frac{1}{6}\pi\end{align*}}$
　　　のときなので、f(x)の増減表は下のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、f(x)は、
　　　　　　　　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\pi\end{align*}}$ で極小$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{6}\pi\end{align*}}$ で極大$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
　　　となる。


　(3)
　　　f(x)の不定積分をF(x)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\bigg[F(x)\bigg]_t^{t+\pi}=F(t+\pi)-F(t)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=F \ '(t+\pi)-F\ '(t)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f(t+\pi) -f(t)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\cos(t+\pi)}{2+\sin (t+\pi)}-\frac{\cos t}{2+\sin t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-\cos t }{2-\sin t}-\frac{\cos t}{2+\sin t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{4\cos t }{4-\sin^2t}\end{align*}}$
　　　となるので、g(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　よって、g(t)が極小となるのは、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のときである。


　(4)
　　　(3)より、g(t)の極小値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{\pi}{2}\right)=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi}\frac{\cos x}{2+\sin x}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \frac{\left(2+\sin x\right)'}{2+\sin x}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\log\left|2+ \sin x\right|\bigg]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \log 1-\log 3\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\log 3 }\end{align*}}$





　　(4)の積分で、cosx=(2+sinx)’というのは、
　　よくある考え方ですが、気づかなかったとしても
　　s=2+sinxと置換すれば同じことです。