① z+a²　　　　② a⁴　　　　③ a≧1　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　⑤ z+2　　　　

　　⑥ 4　　　　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{32}{3}\pi\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{16-10\sqrt2}{3}\pi\end{align*}}$

【解説】

　　　この球をSとし、中心をAとする。

　(1)
　　　Sはxy平面に接するので、
　　　　　　　　Sの半径=Aのz座標の絶対値=a²
　　　となる。よって、Sの方程式は
　　　　　　　　(x－1)²+(y－a)²+(z+a)²=a⁴　
　　　である。

　(2)
　　　Sの直径のうち、y軸に平行なものの端点のうちでy座標が
　　　小さい方をBとすると、B(1，a－a²，－a²)なので、
　　　Sがxz平面と共有点をもつとき
　　　　　　　　a－a²≦0　⇔　a≦0， 1≦a
　　　である。
　　　a＞0なので、求めるaの値の範囲は、a≧1である。

　(3)
　　　線分ABとxz平面との交点をC(1，0，－a²)とし、
　　　Sとxz平面との共有点が作る円の周上の点をDとすると、
　　　CDがこの円の半径になる。
　　　よって、△ACDに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　CD²+AC²=AD²
　　　　　　⇔　($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )²+a²=(a²)²
　　　　　　⇔　a²=－1，2
　　　　　　⇔　a=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　（＞0）
　　　となるので、Sの方程式は
　　　　　　　　(x－1)²+(y－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )²+(z+2)²=4
　　　である。

　　　線分BC上の点Pのy座標をtとおくと、AP=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －tなので、
　　　Pを通りxz平面に平行な平面とSとの共有点が作る円の半径rは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{2^2-\left( \sqrt2-t\right)^2}\end{align*}}$
　　　となる。tの範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －2≦t≦0
　　　なので、Sがxz平面で切り取られる小さい方の部分の
　　　体積をVとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_{\sqrt2-2}^0\pi\ r^2\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{\sqrt2-2}^0\left\{2^2-\left( \sqrt2-t\right)^2\right\}dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{-2}^{-\sqrt2}\left(4-s^2\right)ds\end{align*}}$　　←$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=t-\sqrt2\end{align*}}$ と置換
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[4s- \frac{1}{3}s^3\right]_{-2}^{-\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{16-10\sqrt2}{3}\pi\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　



　　①～⑦まではスラスラといきましょう。
　　それほど難しくはありませんが、とりあえず⑧は後回しでしょうか。