第4問
1以上の整数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\ \ ,\ \ J_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^ndx\ \ ,\ \ K_n=a_nJ_n\end{align*}}$
とおく。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{a_n}\end{align*}}$ をnの式で表せ。
(2) K1、K2を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$ をJn+1とJnを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf J_{n+1}=\int_0^1(x)'\cdot(1-x^2)^{n+1}dx\end{align*}}$ に部分積分法を適用して、Jn+1をJnを用い
て表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{K_{n+1}}{K_n}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf L_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\ _nC_k=_nC_0-\frac{1}{3}_nC_1+\frac{1}{5}_nC_2-\frac{1}{7}_nC_3+\ldots\ldots +\frac{(-1)^n}{2n+1}\ _nC_n\end{align*}}$ とおく。
このとき、LnがJnに等しいことを示せ。
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【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+3)!}{\{(n+1)!\}^2}\cdot\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{\frac{n!}{(n+1) !}\right\}^2\cdot\frac{(2n+3)!}{(2n+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+1)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2(2n+3)}{n+1}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_1=\frac{3!}{(1!)^2}\int_0^1(1-x^2)dx=6\left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\underline{\ 4\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_2=\frac{5!}{(2!)^2}\int_0^1(1-x^2)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =30\int_0^1(1-2x^2+x^4)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =30\left[x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5\right]_0^1=\underline{\ 16\ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{n+1}=\int_0^1\left(1-x^2\right)^{n+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1(1-x^2)\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left(1-x^2\right)^ndx-\int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =J_n-\int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx=\underline{\ J_{n}-J_{n+1}\ }\end{align*}}$ .
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{n+1}=\int_0^1(x)'\cdot\left(1-x^2\right)^{n+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[x\left(1-x^2\right)^{n+1}\bigg]_0^1-\int_0^1x\cdot(n+1)\left(1-x^2\right)^{n}\cdot (-2x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(n+1)\int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^{n}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(n+1)\left(J_n-J_{n+1}\right)^{n}dx\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2n+3)J_{n+1}= 2(n+1)\ J_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ J_{n+1}=\underline{\ \frac{2(n+1)}{2n+3}\ J_n\ }\end{align*}}$
これと(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{K_{n+1}}{K_n}=\frac{a_{n+1}J_{n+1}}{a_nJ_n}=\frac{2(2n+3)}{2n+1}\cdot\frac{2(n+1)}{2n+3}=\underline{\ 4}\end{align*}}$
(4)
(3)より、Kn+1=4Knとなるので、{Kn}は公比4の等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_n=4^{n-1}K_1=\underline{\ 4^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\frac{K_n}{a_n}=\underline{\ \frac{4^n\cdot (n!)^2}{(2n+1)!}}\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \int_0^1\left\{\sum_{k=0}^n\ _nC_k\left(-x^2\right)^k\right\}dx\end{align*}}$ ←二項定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=0}^n\left\{ _nC_k\cdot (-1)^k\int_0^1x^{2k}dx\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=0}^n\left\{ _nC_k\cdot (-1)^k\left[\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right]_0^1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\ _nC_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = L_n\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/07(金) 02:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2014(全学)
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