2014関西学院大 理系（全学部日程） 数学２

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【解答】

　(1)
　　　与式は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OB}\right)+2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OP}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}+3\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
　　　と変形でき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=x^2+y^2+z^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0-4+0=-4\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x^2+y^2+z^2-12=0\ }\end{align*}}$　　……①

　　　また、x、zは実数なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+z^2=12-y^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -2\sqrt3\leqq y\leqq 2\sqrt3\ }\end{align*}}$　　……②


　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}|=\sqrt{x^2+(y-2)^2+z^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{x^2+y^2+z^2+4-4y}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{16-4y}\end{align*}}$　　←①より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt{4-y}\ }\end{align*}}$


　(3)
　　　(2)と同様に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BP}|=\sqrt{x^2+(y+2)^2+z^2}=2\sqrt{4+y}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=|\overrightarrow{\sf AP}||\overrightarrow{\sf BP}|\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=4\sqrt{(4-y)(4+y)}=4\sqrt{16-y^2}\end{align*}}$ ．
　　　②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\leqq 16-y^2\leqq 16\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=16\ \ ,\ \ S_{min}=8\ }\end{align*}}$ ．

　　　Sが最小になるのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16-y^2=4\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm 2\sqrt3\end{align*}}$
　　　のときであり、これと①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+z^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=z=0\end{align*}}$
　　　となるので、点Pの座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ \pm 2\sqrt3\ ,0\right)\ }\end{align*}}$
　　　である。





　　上から順に計算していけば大丈夫ですね。