2014関西学院大 理系（全学部日程） 数学１

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【解答】

　　ア －1＜a＜2　　　　イ －4a²+4a+8　　　　ウ 9　　　　エ 2　

　　オ 4－x　　　　　　カ 2－x　　　　キ 1　　　　ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\cos^2 2x}\end{align*}}$

　　ケ 4　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{\pi}{2}"\end{align*}}$　　　　


【解説】

　(1)
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　D/4=(a+1)²－(2a²+a－1)＞0
　　　　　⇔　a²－a－2=(a－2)(a+1)＜0
　　　　　⇔　－1＜a＜2．
　　　また解と係数の関係より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ =2a+2、　　$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ =2a²+a－1
　　　なので、
　　　　　　　($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )²=($\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ )²－4$\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$
　　　　　　　　　　　　　=(2a+2)²－4(2a²+a－1)
　　　　　　　　　　　　　=－4a²+4a+8
　　　この式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -4\left( a-\frac{1}{2}\right)^2 + 9\end{align*}}$　　　　
　　　と平方完成できるので、　ア　 の範囲における($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )²の
　　　最大値は9である。


　(2)
　　　xの変域は、真数条件より、
　　　　　　　　3－x＞0 かつ 2－x＞0　　すなわち　x＜2
　　　となる。
　　　(*)は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_{10}y=\log_{10}\frac{(3-x)^2}{2-x}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{(3-x)^2}{2-x}=\frac{9-6x+ x^2}{2-x}=\underline{\ 4-x+\frac{1}{2-x}\ }\end{align*}}$　　　　
　　　と変形できる。
　　　2－x＞0なので、相加・相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2-x+\frac{1}{2-x}+2\geqq 2\sqrt{\left(2-x\right)\cdot\frac{1}{2-x}}+2=4\end{align*}}$
　　　となり、yの最大値は4である。
　　　このとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-x=\frac{1}{2-x}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2-x\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=1\ (<2)\ }\end{align*}}$


　(3)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{\cos^2 2x}\cdot (2x)'=\underline{\ \frac{2}{\cos^2 2x}\ }\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\tan\frac{\pi}{4}=\frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{4}}\left(x-\frac{\pi}{8}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=4x+1-\frac{\pi}{2}\ }\end{align*}}$






　　(2)の相加・相乗は気づきましたか？