第3問
rを1でない定数とする。漸化式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=0\ \ ,\ \ a_2=1\ \ ,\ \ a_{n+2}=(r+1)\ a_{n+1}-r\ a_n+1\ \ \ \ (n\geqq 1)\end{align*}}$
で定義される数列{an}の階差数列を{bn}とするとき、次の問いに
答えよ。
(1) b1を求めよ。またbn+1とbnの関係式を求めよ。
(2) 数列{bn}の一般項を求めよ。
(3) r=2のとき、数列{an}の一般項を求めよ。
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【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}=(r+1)\ a_{n+1}-r\ a_n+1\end{align*}}$ ……①
(1)
まず、{bn}は{an}の階差数列なので、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=a_{n+1}-a_n\end{align*}}$ ……②
が成り立つので、n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
また、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+3}=(r+1)\ a_{n+2}-r\ a_{n+1}+1\end{align*}}$ ……③
となり、③から①を辺々引くと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+3}-a_{n+2}=(r+1)\left( a_{n+2}-a_{n+1}\right)-r\left( a_{n+1}-a_{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}=(r+1)\ b_{n+1}-r\ b_n\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}-b_{n+1}=r\ \left( b_{n+1}-b_n\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列{bn+1－bn}は、公比rの等比数列をなす。
ここで、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=(r+1)\cdot 1-r\cdot 0+1=r+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=a_3-a_2=(r+2)-1=r+1\end{align*}}$ ←②より
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}-b_n=r^{n-1}\cdot \left(b_2-b_1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_{n+1}-b_n=r^n\ }\end{align*}}$
(2)
数列{bn+1－bn}は数列{bn}の階差数列なので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(b_{k+1}-b_k \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\sum_{k=1}^{n-1}r^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{r\left(r^{n-1}-1 \right)}{r-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{r^{n}-1}{r-1}\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
(3)
数列{bn}は数列{an}の階差数列なので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{r^{k}-1}{r-1}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^{k}-1\right)\end{align*}}$ ←r=2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(2^{n-1}-1 \right)}{2-1}-(n-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2^n-n-1\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
(1)で、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}b_{n+2}=(r+1)\ b_{n+1}-r\ b_n\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}-b_{n+1}=r\ \left( b_{n+1}-b_n\right)}\end{align*}}$
の変形に気づけば、あとは流れのままです。
気づかなかったとしても、隣接3項間の漸化式を解くだけです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/07(金) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2014(個別)
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