第2問
座標空間内に3点
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(1,1,0 \right)\ \ ,\ \ B\left(0,2,0 \right)\ \ ,\ \ C\left(0,0,\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
がある。線分BCを1：3に内分する点をDとする。点P(x，y，z)が
$\small\sf{\begin{align*} \sf 4(1-t)\ \overrightarrow{\sf AP}+3t\ \overrightarrow{\sf BP}+t\ \overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0}\ \ ,\ \ 0\leqq t\leqq 1\end{align*}}$
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Dの座標を求めよ。
(2) x、y、zをそれぞれtの式で表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2\end{align*}}$ と内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を、それぞれtの式で表せ。
(4) △OPCの面積Sをtの式で表せ。また、Sの最小値とそのときのtの
値を求めよ。
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【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left( \frac{0+0}{1+3}\ ,\ \frac{6+0}{1+3}\ ,\ \frac{0+\frac{1}{2}}{1+3}\right)=\underline{\ \left( 0\ ,\ \frac{3}{2}\ ,\ \frac{1}{8}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4(1-t)\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right)+3t\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OB}\right)+t\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OC}\right)=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{4(1-t)+3t+t\right\}\ \overrightarrow{\sf OP}=4(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+3t\ \overrightarrow{\sf OB}+t\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+t\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ ←DはBCを1：3に内分する点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-t\ ,\ 1-t\ ,\ 0 \right)+\left(0\ ,\ \frac{3t}{2}\ ,\ \frac{t}{8}\right)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-t\ ,\ 1+\frac{t}{2}\ ,\ \frac{t}{8}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=1-t\ \ ,\ \ y=1+\frac{t}{2}\ \ ,\ \ z=\frac{t}{8}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=\left(1-t\right)^2+\left(1+\frac{t}{2} \right)^2+\left(\frac{t}{8} \right)^2=\underline{\ \frac{81}{64}t^2-t+2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0+0+\frac{t}{8}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{t}{16}\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より、△OPCの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OP}|^2|\overrightarrow{\sf OC}|^2-\left( \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{81}{64}t^2-t+2\right)\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^2-\left( \frac{t}{16}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\sqrt{5t^2-4t+8}\ }\end{align*}}$
となり、ルートの中を平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{8}\sqrt{5\left(t-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{36}{5}}\end{align*}}$
なので、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{36}{5}}=\underline{\ \frac{3\sqrt5}{20}\ \ \ \ \ \left(t=\frac{2}{5}\right)}\end{align*}}$
流れのまま計算していきましょう。
(2)でDが登場することに気づかなくても、そのまま計算すればOKです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/07(金) 01:06:03|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西学院大 理系 2014(個別)
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