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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013立命館大 理系(2月7日) 数学4



第4問

  空間の4点A(2,1,0)、B(2,-1,0)、C(0,-1,0)、D(0,1,0)、
  および、方程式z=2で表される平面上の4点A’(4,1,2)、B’(4,-1,2)、
  C’(2,-1,2)、D’(2,1,2)を頂点とする角柱をSとする。このとき、正方形
  A’B’C’D’ は、正方形ABCDをベクトル(2,0,2)分だけ移動したものに
  なっている。また、点E(4,0,0)およびQ(0,0,2)をとり、底面がxy平面上の
  三角形△ABE、頂点がQの三角錐をTとする。

 (1) tを0≦t≦2なる実数とする。方程式z=tで表される平面とS、および、Tとの
    共通部分を考える。その共通部分の任意の点P(x,y,t)に対して、xy平面上
    の点P’(x,y,0)を考え、点P’の全体をそれぞれSt、Ttとする。このとき、
    Stは不等式t≦x≦+2、|y|≦1で表される領域である。また、Tt
       A”( ム  メ  ,0)、 B”( ム  ,- メ  ,0 )、
       E”( モ  ,0,0)
    を頂点とする三角形で囲まれる領域を含む領域で、その面積は ヤ  である。
    ただし、 メ  ≧0 であるとする。

 (2) StとTtの共通部分をVtとする。まず、0≦t< ユ  のとき、頂点E”は
    正方形Stの外部にあり、したがってVtは台形となり、その面積は  ヨ 
    である。次に ユ  ≦t≦1のとき、三角形TtはStの内部と境界に含まれて
    おり、Vt=Ttとなる。したがってその面積は ヤ  である。1<t≦ ラ 
    のとき辺A”B”はStの外部にあり、VtはTtのx≦ リ  の部分のなす三角形
    となるので、その面積は ル  となる。最後に、 ラ  <t≦2のとき、St
    Ttは共通部分をもたない。

 (3) 以上の考察から、SとTの共通部分Vの体積は レ  となる。




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