ケ 2s　　　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2t}\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2u}\end{align*}}$　　　　

　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf u^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　ソ s　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4s^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$　　　　チ 4　　　　ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\end{align*}}$　　　　

　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s}{2}-\frac{3}{32s}\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s^2}{4}+\frac{9}{1024s^2}+\frac{5}{32}\end{align*}}$　　　　ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{4}\end{align*}}$　　　　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　
　　　

【解説】

　(1)
　　　C₁に対して、y’=2xなので、Q、Rにおける接線はそれぞれ、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y-t^2=2t(x-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=2tx-t^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y=2ux-u^2\end{align*}}$
　　　となり、これらが点Pを通るので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}=2st-t^2=2su-u^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(t-u\right)s=t^2-u^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t+u=2s\ }\ \ \ \ \left(\because\ t-u\ne 0\right)\end{align*}}$ ．
　　　さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{4}=(t+u)t-t^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ tu=-\frac{1}{4}\ }\end{align*}}$


　(2)
　　　Q、Rにおける法線はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_1:\ y-t^2=-\frac{1}{2t}\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\frac{1}{2t}x+t^2+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m_2:\ \underline{\ y=-\frac{1}{2u}x+u^2+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
　　　となり、これら2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2t}x+t^2+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2u}x+u^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{1}{2t}-\frac{1}{2u}\right)x=t^2-u^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{u-t}{2tu}x=(t-u)(t+u)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-2tu\left(t+u\right)\ \ \ \ (\because t-u\ne 0)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 2s=\underline{\ s\ }\end{align*}}$　　←(1)より

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2t}\cdot\left\{-2tu(t+u)\right\}+t^2+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t^2+u^2+tu+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(t+u\right)^2-tu+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4s^2+\frac{3}{4}\ }\end{align*}}$　　←(1)より
　　　これら2式よりsを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=4x^2+\frac{3}{4}\ }\end{align*}}$
　　　となり、これが点Sの軌跡C₂を表す。


　(3)
　　　C₂に対して、y’=8xなので、Sにおける接線は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(4s^2+\frac{3}{4}\right)=8s\left(x-s\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=8sx-4s^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　となり、これとx軸との交点のx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=8sx-4s^2+\frac{3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \frac{s}{2}-\frac{3}{32s}\ }\ \ \ \ (\because s\ne 0)\end{align*}}$
　　　である。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d^2=PT^2=\left\{s-\left(\frac{s}{2}-\frac{3}{32s}\right)\right\}^2+\left(-\frac{1}{4}\right)^2 \end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{s^2}{4}+\frac{9}{1024s^2}+\frac{5}{32}\ }\end{align*}}$ ．
　　　相加・相乗平均の関係より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\geqq \sqrt{2\sqrt{\frac{s^2}{4}\cdot\frac{9}{1024s^2}}+\frac{5}{32}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\end{align*}}$　　……①
　　　であり、dの最小値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ となる。
　　　①の等号が成立するのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s^2}{4}=\frac{9}{1024s^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ s^4=\frac{9}{256}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=\frac{\sqrt3}{4}\ \ \ (>0)}\end{align*}}$
　　　のときである。




　　これも流れのままにどうぞ。