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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013立命館大 理系(2月7日) 数学1



第1問

  平面上に中心O、半径が1の円を考え、その円に三角形△ABCが内接
  しているとする。さらに、点Oから辺AB、BC、CAに下ろした垂線の足を
  それぞれL、M、Nとするとき、ある実数s、t、uによって、以下の等式が
  成り立っているものとする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf s\overrightarrow{\sf OL}+t\overrightarrow{\sf OM}+u\overrightarrow{\sf ON}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$  ……(*)

 (1) 等式(*)を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を使った等式に書き直すと
        (s+u)$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + ア  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ + イ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
    となる。いま、 ア  イ  も正の実数である場合を考えよう。
    辺BCを イ  ア  に内分する点をDとすると、
        図02
    となる。このことから、点Oが三角形△ABCの内部にあるためには
    s+uが エ  であることが必要十分条件である。

 (2) とくに、s=10、u=3、t>-3としてみよう、このとき、内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は
    tを使って オ  と書き表せ、t= カ  のときに0となって、
    ∠BOC= キ  、さらに、∠BAC= ク  となる。




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