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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013関西大 理系数学(2月5日) 2



第2問

  △ABCがあり、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=-2\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf CA}=-3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CA}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-4\end{align*}}$図16
  である。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
  とおく。次の    を数値でうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\end{align*}}$  ①  、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf b}|^2=\end{align*}}$  ②  、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf c}|^2=\end{align*}}$  ③  である。

 (2) p、qを実数の定数とする。△ABCの外心をOとし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AO}=p\overrightarrow{\sf b}+q\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    とおく。辺ABの中点をMとすると、OM⊥AMであることから
         ④  p+4q=3
    である。
    さらに、辺ACの中点をNとし、ONとANの関係を考えることにより
        p= ⑤  、 q= ⑥ 
    と求められる。

 (3) 辺ABを直径とする円と辺ACとの交点のうちAでない方をD、辺BCと
    の交点のうちBでない方をEとすると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\end{align*}}$  ⑦  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}=\end{align*}}$  ⑧  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}+\end{align*}}$  ⑨  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    である。また、BDとAEの交点をHとすると、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=\end{align*}}$  ⑩  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}+\end{align*}}$  ⑪  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
    である。



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