① 9　　　　② 1　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt2\end{align*}}$　　　　④ 6　　　　⑤ 2k²+16　　　　

　　⑥ 10－k²　　　　⑦ k²－10　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{7}{9}\leqq \cos\alpha\leqq 1\end{align*}}$　　　　⑨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\frac{3\sqrt 3}{2}\end{align*}}$

　　⑩ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$　　　　


【解説】

　(1)
　　　2点A(a，0)、B(0，b)に対して、P(x，y)はABを1：3に内分する
　　　点なので　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(x\ ,\ y\right)=\left(\frac{3a}{4}\ ,\ \frac{b}{4}\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{4}{3}x\ \ ,\ \ b=4y\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=4\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+b^2=16\end{align*}}$
　　　なので、これらよりa、bを消去すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4}{3}x\right)^2+(4y)^2=16\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ C:\ \frac{x^2}{9}+y^2=1\ }\end{align*}}$

　(2)
　　　楕円Cの焦点F、F’の座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\sqrt{3^2-1^2}\ ,\ \right)=\underline{\ \left(\pm 2\sqrt2\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$ ．
　　　また、2焦点からの距離の和は、長軸の長さに等しいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PF+PF'=\underline{\ 6\ }\end{align*}}$

　(3)
　　　点Pの座標を(p，q)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=k^2=p^2+q^2\end{align*}}$　　……(ア)
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PF^2+PF'^2=\left\{\left(p-2\sqrt2\right)^2+q^2\right\}+\left\{\left(p+2\sqrt2\right)^2+q^2\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(p^2+q^2\right)+16\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2k^2+16\ }\end{align*}}$　　←(ア)より

　　　これと(2)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(PF+PF'\right)^2=PF^2+PF'^2+2\cdot PF\cdot PF'\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ PF\cdot PF'=\frac{6^2-\left(2k^2+16\right)}{2}=\underline{\ 10-k^2\ }\end{align*}}$

　　　また、△PFF’に余弦定理を適用すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\alpha=\frac{-\left(4\sqrt2\right)^2+\left(2k^2+16\right)}{2\left(10-k^2\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{k^2-8}{k^2-10}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -1-\frac{2}{k^2-10}\ }\end{align*}}$ .

　　　K(=OP）のとり得る値の範囲は、1≦k≦3であり、
　　　この範囲内でcos$\scriptsize\sf{\alpha}$ の値は単調に変化するので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq k\leqq 3\ \ \Leftrightarrow\ \ -9\leqq k^2-10\leqq -1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -1\leqq \frac{1}{k^2-10}\leqq -\frac{1}{9}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{7}{9}\leqq -1-\frac{2}{k^2-10}\leqq 1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -\frac{7}{9}\leqq \cos\alpha\leqq 1\ }\end{align*}}$

　(4)
　　　直線 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{3\sqrt3}\ x\end{align*}}$ と楕円Cの2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{9}+\left(\frac{1}{3\sqrt3}x\right)^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=\frac{27}{4}\end{align*}}$
　　　となるので、交点のx座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ \pm\frac{3\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
　　　である。

　　　このとき、囲まれる部分は右図のようになるので、
　　　面積をSとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3\sqrt3}{2}\cdot \frac{1}{2}+\int_{\frac{3\sqrt3}{2}}^3\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}\ dx\end{align*}}$ ．
　　　ここで、x=3cosｔとおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=-3\sin t\end{align*}}$
　　　であり、積分区間が0≦t≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /6になるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{3\sqrt3}{8}+\int_{\pi /6}^0\sqrt{1-\cos^2t}\cdot\left(-3\sin t\right)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\sqrt3}{8}+3\int_0^{\pi /6}\sin^2 t\ dt\end{align*}}$　　←積分区間内ではsinｔ≧0
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\sqrt3}{8}+\frac{3}{2}\int_0^{\pi /6}\left(1-cos 2t\right)dt\end{align*}}$　　←半角公式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\sqrt3}{8}+\frac{3}{2}\bigg[t-\frac{1}{2}\sin 2t\bigg]_0^{\pi /6}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3\sqrt3}{8}+\frac{3}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{4}\ }\end{align*}}$




　　(3)で余弦定理を用いるのは、上からの自然な流れですね。