第3問
はじめに、Aが赤玉を1個、Bが白玉を1個、Cが青玉を1個もっている。
表裏の出る確率がそれぞれ2分の1の硬貨を投げ、表が出ればAとBの
玉を交換し、裏が出ればBとCの玉を交換する、という操作を考える。
この操作をn回(n=1,2,3,・・・)繰り返した後に、A、B、Cが赤玉を
持っている確率をそれぞれan、bn、cnとおく。
(1) a1、b1、c1、a2、b2、c2を求めよ。
(2) an+1、bn+1、cn+1をan、bn、cnで表せ。
(3) an、bn、cnを求めよ。
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【解答】
(1)
右図より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ c_1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ c_1=\frac{1}{4}\end{align*}}$
(1)は、あれやこれや考えるより、書き出した方が確実です。
(2)
・n回の操作後にAが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Bが赤玉
裏が出ると、Aが赤玉
・n回の操作後にBが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Aが赤玉
裏が出ると、Cが赤玉
・n回の操作後にCが赤玉を持っている状態で、
表が出ると、Cが赤玉
裏が出ると、Bが赤玉
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ b_n\end{align*}}$ ・・・・①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$ ・・・・②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{2}\ b_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$ ・・・・③
(3)
an+bn+cn=1 ・・・・④ を②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ (1-\ b_n)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\ \left(\ b_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf \ b_n-\frac{1}{3} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\ \ }\end{align*}}$ ・・・・②’
一方、①-③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}-c_{n+1}=\frac{1}{2}\ (a_n-c_n)\end{align*}}$
数列 {an-cn}は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-c_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ・・・・⑤
また、④、②’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n+c_n=1-b_n=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\end{align*}}$ ・・・・⑥
(⑤+⑥)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\underline{\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\ \ }\end{align*}}$
(⑥-⑤)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\underline{\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}\ \ }\end{align*}}$
an+bn+cn=1という条件を忘れてはいけません。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/21(日) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 理系 2010
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