第５問
2本の当たりくじを含む102本のくじを、1回に1本ずつ、くじが
なくなるまで引き続けることにする。
(１) n回目に1本目の当たりくじが出る確率を求めよ。
(２) A、B、Cの3人が、A、B、C、A、B、C、A、･･･の順に、
このくじ引きを行うとする。1本目の当たりくじをAが引く
確率を求めよ。BとCについても、1本目の当たりくじを引く
確率を求めよ。
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【解答】
(１)
1本目～n－1本目がすべてハズレくじで、n回目に当たりくじが
出ればよいので、求める確率をp(n)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\frac{100}{102}\cdot\frac{99}{101}\cdot\frac{98}{100}\cdot\ldots\cdot\frac{104-n}{106-n}\cdot\frac{103-n}{105-n}\cdot\frac{102-n}{104-n}\cdot\frac{2}{103-n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2(102-n)}{102\cdot 101}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{102-n}{5151}\ }\end{align*}}$
(２)
1本目の当たりくじが出る可能性があるのは、1回目～101回目
なので、Aがそれを引く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(1)+p(4)+p(7)+\ldots p(100)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{34}p(3k-2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{34}\frac{102-(3k-2)}{5151}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\sum_{k=1}^{34}(104-3k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\times\left(104\cdot 34-\frac{3}{2}\cdot 34\cdot 35\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{103}{303}\ }\end{align*}}$
1本目の当たりくじをBが引く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(2)+p(5)+p(8)+\ldots p(101)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{34}p(3k-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\sum_{k=1}^{34}(103-3k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\times\left(103\cdot 34-\frac{3}{2}\cdot 34\cdot 35\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
1本目の当たりくじをCが引く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{103}{303}-\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{33}{101}\ }\end{align*}}$
細かい部分に気をつけましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/01(木) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2010
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