2010北海道大 理系数学１

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【解答】

　(１)
　　　C₁の導関数はy’＝2xなので、C₁上の点P(s，s²)における
　　　接線の方程式は、
　　　　　　　　y－s²＝2s(x－s)
　　　　　　⇔　y＝2sx－s²　　･･････①
　　　一方、C₂の導関数はy’＝2x－4aなので、C₂上の
　　　点Q(t，t²－4at＋4a)における接線の方程式は、
　　　　　　　　y－(t²－4at＋4a)＝(2t－4a)(x－t)
　　　　　　⇔　y＝(2t－4a)x－t²＋4a　　･･････②
　　　①、②が一致するとき
　　　　　　　　2s＝2t－4a　かつ　－s²＝－t²＋4a
　　　であり、これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　s＝1－a、 t＝1＋a．
　　　よって、共通接線Lの方程式は、
　　　　　　　　y＝2(1－a)x－(1－a)²
　　　となる。

　(２)
　　　C₁とC₂の2式を連立させると、
　　　　　　　　x²＝x²－4ax＋4a
　　　　　　⇔　x＝1　（∵a≠0）
　　　となるので、C₁とC₂の交点は(1，1)である。
　　　また、a＞0より 1－a＜1＜1＋aなので
　　　C₁、C₂、Lの位置関係は右図のようになる。
　　　よって、これらで囲まれる部分の面積Sは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{1-a}^1\left\{x^2-2(1-a)x+(1-a)^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_1^{1+a}\left\{x^2-4ax+4a-2(1-a)x+(1-a)^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{1-a}^1\left\{x-(1-a)\right\}^2dx+\int_1^{1+a}\left\{x-(1+a)\right\}^2dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{3}\left\{x-(1-a)\right\}^3\bigg]_{1-a}^1+\bigg[\frac{1}{3}\left\{x-(1+a)\right\}^3\bigg]_1^{1+a}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{3}a^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}a^2\ }\end{align*}}$




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