2010北海道大 理系数学２

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【解答】

　　　　　　　　A²－A＋E＝O　･･････①

　(１)
　　　　　　　　①　⇔　－A²＋A＝E
　　　なので、これは
　　　　　　　　A(－A＋E)＝E　および　(－A＋E)A＝E
　　　と変形できる。
　　　よって、－A＋EがAの逆行列となるので、題意は示された。


　(２)
　　　ハミルトン・ケーリーの定理より
　　　　　　　　A²－(a＋d)A＋(ad－bc)E＝O
　　　であり、これと①の辺々を引くと、
　　　　　　　　｛1－(a＋d)}A＋(ad－bc－1)E＝O　･･････②
　　　となる。
　　　(ⅰ) a＋d≠1のとき　
　　　　　　②は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{ad-bc-1}{a+d-1}E\end{align*}}$
　　　　　　と変形でき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{ad-bc-1}{a+d-1}\end{align*}}$
　　　　　　とおくと、A＝kEと表せる。
　　　　　　これを①に代入すると、
　　　　　　　　　(kE)²－kE＋E＝O
　　　　　　　⇔　(k²－k＋1)E＝O
　　　　　　　⇔　k²－k＋1＝0　（∵E≠O）･･････③
　　　　　　ここで、a、b、c、dは実数なのでkも実数であるが、
　　　　　　③の判別式は、D＝1－4＜0であり、③は実数解を
　　　　　　もたないので不適である。

　　　(ⅱ) a＋d＝1のとき　
　　　　　　②は
　　　　　　　　(ad－bc－1)E＝O
　　　　　　となり、E≠Oなので、ad－bc＝1．
　　　以上より、
　　　　　　　a＋d＝1、 ad－bc＝1．


　(３)
　　　(２)より、ad－bc＝1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{-1}=\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　であり、これが $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に等しいので、成分を比較すると、
　　　　　　　　a＝d　かつ　c＝－b
　　　となる。
　　　a＝dとa＋d＝1より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=d=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　であり、さらにad－bc＝1なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^2+b^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{\sqrt3}{2}\ (>0)\ \ ,\ \ c=-b=-\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
　　　である。




　　(１)は、逆行列の定義に持ちこみましょう！