青木ゼミ青木2010名古屋大　理系数学１

2010名古屋大　理系数学１

第１問

　　座標空間内に８点
　　　　Ｏ(０，０，０)、Ｐ(１，０，０)、Ｑ(１，１，０)、Ｒ(０，１，０)
　　　　Ａ(０，０，１)、Ｂ(１，０，１)、Ｃ(１，１，１)、Ｄ(０，１，１)
　　をとり、線分ＢＣの中点をＭとする。線分ＲＤ上の点をＮ(０，１，ｔ)とし、
　　３点Ｏ、Ｍ、Ｎを通る平面と線分ＰＤおよび線分ＰＢとの交点をそれぞれ
　　Ｋ、Ｌとする。

　(１) Ｋの座標をｔで表せ。

　(２) 四面体ＯＫＬＰの体積をＶ(ｔ)とする。Ｎが線分ＲからＤまで動くとき、
　　　Ｖ(ｔ)の最大値と最小値およびそれらを与えるｔの値をそれぞれ求めよ。

解答はこちら↓

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【解答】

　　(１)
　　　　Ｋは直線ＰＤ上にあるので、実数ａを用いて、　
　　　　　　　　 $\sf \overrightarrow{\sf PK}=a\ \overrightarrow{\sf PD}$
　　　　　　 $\sf \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OK}=\overrightarrow{\sf OP}+a\ \overrightarrow{\sf PD}=(1-a\ ,\ a\ ,\ a)$ 　････①
　　　　と表される。
　　　　また、Ｋは平面ＯＭＮ上にあるので、実数ｂ、ｃを用いて、
　　　　　　　　 $\sf \overrightarrow{\sf OK}=b\ \overrightarrow{\sf OM}+c\ \overrightarrow{\sf ON}$
　　　　　　　　　　 $\sf =b\left(1\ ,\frac{1}{2}\ ,\ 1\right)+c\left(0\ ,1\ ,\ t\right)$
　　　　　　　　　　 $\sf =\left(b\ ,\frac{1}{2}b+c\ ,\ b+t\ c\right)$ ････②

　　　　①、②より成分を比較すると、
　　　　　　　　 $\sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf -a+1=b \\ \sf a=\frac{1}{2}b+c \\ \sf a=b+t\ c \end{array} \right.$
　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　 $\sf a=\frac{2-t}{4-3t}\ ,\ b=\frac{2-2t}{4-3t}\ ,\ c=\frac{1}{4-3t}$ 　　　　
　　　　となるので、
　　　　　　　　 $\sf \underline{K\left(\frac{2-2t}{4-3t}\ ,\ \frac{2-t}{4-3t}\ ,\ \frac{2-t}{4-3t}\right)\ \ }$ 　　　　

　　(１)に関しては、切り口の図がイメージできなくても、計算だけでなんとかなるでしょう。
　　ただ、計算が煩雑ですが････　　

　　(２)
　　　　(１)と同様にしてＬの座標を求めると、
　　　　　　　　 $\sf L\left(1\ ,\ 0\ ,\ 1-\frac{t}{2}\right)$ .　　　　
　　　　四面体ＯＫＬＰにおいて、△ＯＰＬを底面とすると、
　　　　点Ｋのｙ座標が高さとなるので、

　　　　　　　 $\sf V(t)=\frac{1}{2}\times 1\times \left(1-\frac{t}{2}\right)\times \frac{2-t}{4-3t}\times\frac{1}{3}$ 　　　　
　　　　　　　　　 $\sf =\frac{(2-t)^2}{12(4-3t)}$ 　.　　　
　　　　これをｔで微分すると、
　　　　　　　 $\sf V\ '\ (t)=\frac{-2(2-t)(4-3t)-(2-t)^2\cdot(-3)}{12(4-3t)^2}$ 　　　　
　　　　となり、これを整理すると、
　　　　　　　 $\sf V\ '\ (t)=\frac{-(3t-2)(t-2)}{12(4-3t)^2}$ 　　　　
　　　　となるので、増減表は下の通り。

ｔ	０	･･･	$\sf \frac{2}{3}$	･･･	１
Ｖ’(ｔ)		－	０	＋
Ｖ(ｔ)	$\sf \frac{1}{12}$	↘	$\sf \frac{2}{27}$	↗	$\sf \frac{1}{12}$

　　　　よって、
　　　　　　ｔ＝０、１のとき、Ｖ(ｔ)は最大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\end{align*}}$
　　　　　　ｔ＝ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき、Ｖ(ｔ)は最小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{27}\end{align*}}$

　　Ｌの座標は、図形の性質を利用すると楽に求める
　　ことができます。
　　
　　２平面ＢＣＱＰとＡＯＲＤは平行なので、平面ＯＭＮとの
　　２本の交線ＯＮとＬＭは平行になります。
　　よって、△ＯＲＮと△ＭＢＬは相似です。
　　相似比は２：１なので、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}BL=\frac{1}{2}RN=\frac{t}{2}}\end{align*}}$
　　となります。
　
　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術