第３問
曲線7x2＋2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xy＋9y2＝30上の点(x，y)に対して、変換
X＝xcos$\small\sf{\theta}$ －ysin$\small\sf{\theta}$
Y＝xsin$\small\sf{\theta}$ ＋ycos$\small\sf{\theta}$
を考える（ただし0≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ /2とする）。このときX、Yのみたす
式は
a($\small\sf{\theta}$ )X2＋b($\small\sf{\theta}$ )XY＋c($\small\sf{\theta}$ )Y2＝30
となる。ただし、a($\small\sf{\theta}$ )、b($\small\sf{\theta}$ )、c($\small\sf{\theta}$ )は$\small\sf{\theta}$ のみにより決まる定
数である。いまb($\small\sf{\theta}$ )＝0をみたｓ$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{\theta}$ 1とする。
(１) $\small\sf{\theta}$ 1を求めよ。
(２) a($\small\sf{\theta}$ 1)X2＋c($\small\sf{\theta}$ 1)Y2＝30で囲まれた図形の面積を求めよ。
(３) a($\small\sf{\theta}$ 1)X2＋c($\small\sf{\theta}$ 1)Y2＝30に内接する平行四辺形の面積の
最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
C： 7x2＋2$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ xy＋9y2＝30上
C’： a($\scriptsize\sf{\theta}$ )X2＋b($\scriptsize\sf{\theta}$ )XY＋c($\scriptsize\sf{\theta}$ )Y2＝30
(１)
行列Aを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
と定めると、そのデターミナントは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf detA=\cos^2\theta-(-\sin^2\theta)=1\ne 0\end{align*}}$
となるので、逆行列A-1が存在する。
よって、題意の変換は行列Aを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X}{Y}=A\binom{x}{y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{x}{y}=A^{-1}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf \sin\theta \\ \sf -\sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\binom{X}{Y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{X\cos\theta+Y\sin\theta}{-X\sin\theta+Y\cos\theta}\end{align*}}$
となる。これを曲線Cの式に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 7\left(X\cos\theta+Y\sin\theta\right)^2+2\sqrt3\left(X\cos\theta+Y\sin\theta\right)\left(-X\sin\theta+Y\cos\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +9\left(-X\sin\theta+Y\cos\theta\right)^2=30\end{align*}}$
であり、これを展開して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(7\cos^2\theta-2\sqrt3\sin\theta\cos\theta+9\sin^2\theta\right)X^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left\{-4\sin\theta\cos\theta+2\sqrt3\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\right\}XY\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\left(7\sin^2\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos\theta+9\cos^2\theta\right)Y^2=0\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b\ (\theta)=-4\sin\theta\cos\theta+2\sqrt3\left(\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\sin 2\theta+2\sqrt3\cos 2\theta\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sin\left(2\theta-\frac{\pi}{3}\right)=0\end{align*}}$ ←合成
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \theta \leqq\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{3}\leqq 2\theta-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta-\frac{\pi}{3}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=\underline{\ \theta_1=\frac{\pi}{6}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a\left(\theta_1\right)=7\cos^2\frac{\pi}{6}-2\sqrt3\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}+9\sin^2\frac{\pi}{6}=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c\left(\theta_1\right)=7\sin^2\frac{\pi}{6}+2\sqrt3\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{6}+9\cos^2\frac{\pi}{6}=10\end{align*}}$
となるので、曲線C’は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6X^2+10Y^2=30\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{X^2}{5}+\frac{Y^2}{3}=1\end{align*}}$
となり、これは長軸$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt5\end{align*}}$ 、短軸$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\end{align*}}$ の楕円を表す。
よって、曲線C’で囲まれる図形の面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\cdot \sqrt5\cdot\pi=\underline{\ \sqrt{15}\ \pi\ }\end{align*}}$
(３)
右図のようにC’に内接する平行四辺形を
ABCDとし、A、Bの座標を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(\sqrt3\cos\alpha\ ,\ \sqrt5\sin\alpha\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\sqrt3\cos\beta\ ,\ \sqrt5\sin\beta\right)\end{align*}}$
とおく。ただし、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\beta}$ ．
このとき、平行四辺形ABCDの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=4\triangle OAB\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\cdot\frac{1}{2}\left|\sqrt3\cos\alpha\cdot\sqrt5\sin\beta-\sqrt5\sin\alpha\cdot\sqrt3\cos\beta\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{15}\left|\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{15}\left|\sin\left(\beta-\alpha\right)\right|\end{align*}}$
これが最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta-\alpha=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
のときであり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{max}=\underline{\ 2\sqrt{15}\ }\end{align*}}$
(３)で用いている媒介変数表示は大丈夫ですか？
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/12(金) 01:03:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .札幌医科大 2013
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
