ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+b}{2}\end{align*}}$　　　　イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a-1)(b-1)\end{align*}}$　　　　ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\left(b-a\right)^3\end{align*}}$　　　　エ 1　　

　　オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　　　カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　



【解説】

　(1)
　　　y=(x－1)²の導関数はy’=2(x－1)なので、
　　　L₁の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-(a-1)^2=2(a-1)(x-a)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=2(a-1)x-a^2+1\end{align*}}$
　　　同様にL₂の方程式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2(b-1)x-b^2+1\end{align*}}$
　　　となるので、これら2式を連立させると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2(a-1)x-a^2+1=2(b-1)x-b^2+1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(a-b)x=a^2-b^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a+b}{2}\ \ \ (\because a\ne b)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2(a-1)\cdot\frac{a+b}{2}-a^2+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =ab-a-b+1\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(a-1)(b-1)\end{align*}}$
　　　よって、L₁、L₂の交点をPとすると、その座標は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{a+b}{2}\ ,\ (a-1)(b-1)\right)\ }\end{align*}}$
　　　となる。

　(2)
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_a^{\frac{a+b}{2}}\left\{(x-1)^2-2(a-1)x+a^2-1\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_{\frac{a+b}{2}}^b\left\{(x-1)^2-2(b-1)x+b^2-1\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_a^{\frac{a+b}{2}}\left(x-a\right)^2dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^b\left(x-b\right)^2dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-a\right)^3\right]_a^{\frac{a+b}{2}}+\left[\frac{1}{3}\left(x-b\right)^3\right]_{\frac{a+b}{2}}^b\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{a+b}{2}-a\right)^3-\frac{1}{3}\left(\frac{a+b}{2}-b\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(\frac{b-a}{2}\right)^3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}\left(b-a\right)^3\ }\end{align*}}$

　(3)
　　　L’₁とL’₂が直交するとき、L₁とL₂も直交するので、
　　　傾きの積を考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2(a-1)\cdot 2(b-1)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ 4(ab-a-b+1)=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ab=a+b-\frac{5}{4}\end{align*}}$　･･････①
　　　このとき(2)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{12}\left\{\left(b-a\right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left\{\left(a+b\right)^2-4ab\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left\{\left(a+b\right)^2-4\left(a+b-\frac{5}{4}\right)\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$　←①より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left\{\left(a+b-2\right)^2+1\right\}^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$
　　　となるので、a+b=2　･･････②のとき Sは最小となり、
　　　その値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{12}\cdot 1^{\frac{3}{2}}=\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$
　　　このとき①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=2-\frac{5}{4}=\frac{3}{4}\end{align*}}$
　　　これと②より、解と係数の関係を用いると、
　　　a、bはtについての二次方程式
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2-2t+\frac{3}{4}=0\end{align*}}$
　　　の2解となる。これを解くと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4t^2-8t+3=(2t-1)(2t-3)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　であり、a＜bなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$
　　　となる。
　　　このとき、A、B、Pの座標はそれぞれ
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ ,\ \ B\left(\frac{3}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ ,\ \ P\left(1\ ,\ -\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$
　　　となるので、L₁、L’₁、L₂、L’₂の4直線で囲まれた部分は、
　　　対角線の長さが1の正方形となる。よってその面積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1^2\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$




　　最後はかなり誤魔化していますが（笑）