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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013京都薬科大 数学3



第3問

  濃度a%の食塩水300gが入っている容器Aと、濃度b%の食塩水400g
  が入っている容器Bがある。Aより100gの食塩水をとってそれをBに移し、
  よくかき混ぜた後に同量をAに戻すとする。この操作をn回くり返したとき
  のA、Bの食塩水の濃度を求めたい。
  次の    にあてはまる数または式を、解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にしなさい。

 (1) 容器Aと容器Bに、最初にあった食塩水の量の和は ア  gである。

 (2) n(≧1)回の操作の後、容器Aの濃度がxn%、容器Bの濃度がyn
    になったとする。ynをxn-1とyn-1を用いて表すと、
         yn= イ  xn-1+ ウ  yn-1
    となる。また、xnをxn-1とyn-1を用いて表すと、
         xn= エ  xn-1+ オ  yn-1
    となる。

 (3) 食塩の量の和は一定であることに注意すると、
     カ  xn+ キ  yn= カ  xn-1+ キ  yn-1=・・・= ア 
   
 (4) (3)で与えられた関係式を使って、数列{xn}の漸化式をつくると、
         xn= ク  xn-1+ ケ 
    となる。この漸化式を解くことによって、xnをaとbおよびnを用いて
    表すと、
            xn= コ 
    また、ynをaとbおよびnを用いて表すと
            yn= サ 
    となる。




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