2010東北大 文系数学３

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【解答】

　　　裏表の出方を次のようにA、B、Cと表すことにする。
　　　　　A･･･2枚とも表
　　　　　B･･･2枚とも裏
　　　　　C･･･表裏1枚ずつ
　　　このとき、各試行においてA、B、Cの起こる確率は順に
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\ , \ \frac{1}{4}\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　である。


　(１)
　　　S₂＝－1となるためには、BとCが1回ずつ起こればよいので、
　　　その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2!\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{4}\ }\end{align*}}$

　(２)
　　　S₃＝1となるためには、次の2つのパターンがある。
　　　　　(ア)Aが1回、Cが2回
　　　　　(イ)Aが2回、Bが1回
　　　よって、その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _3C_1\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2+_3C_2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{15}{64}\ }\end{align*}}$

　(３)
　　　n回のうちでA、B、Cが起こった回数をそれぞれa、b、cとすると、
　　　　　　a＋b＋c＝n　････①
　　　また、出た表の総数がiなので、
　　　　　　2a＋c＝i　････②
　　　このとき、到着した位置は
　　　　　　Sn＝a－b
　　　　　　　　＝a－(n－a－c)　　←①より
　　　　　　　　＝－n＋2a＋c
　　　　　　　　＝－n＋i　　←②より

　(４)
　　　2枚の硬貨をn回投げるので、硬貨はのべ2n回投げられた
　　　ことになる。
　　　(３)より
　　　　　　S_n＝－n＋i＝k　⇔　i＝n＋k
　　　となるので、2ｎ回のうち表がn＋k回、裏がn－k回出ればよい。
　　　よって、その確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _{2n}C_{n+k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n+k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-k}=\underline{\ _{2n}C_{n+k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\ }\end{align*}}$
　　　である。





　　(４)は(３)の結論をうまく使いましょう。