第５問
0＜t＜3のとき、連立不等式
0≦y≦sinx
0≦x≦t－y
の表す領域をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を
V(t)とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}V(t)=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ となるtと、そのときのV(t)の値を求めよ。
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【解答】
直線y＝－x＋tのx切片はtであり、題意より
0＜t＜3＜$\scriptsize\sf{\pi}$
となるので、この直線は曲線y＝sinx（0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）と
ただ1つの共有点をもち、連立不等式の表す領域は
右図のようになる。
共有点のx座標をp (0＜p＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ）とおくと、
－p＋t＝sinp ････①
よって、回転体の体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(t)=\pi\int_0^p\left(\sin x\right)^2dx+\pi\int_p^t(-x+t)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_0^p\left(1-cos2p\right)dx+\pi\left[-\frac{1}{3}(-x+t)^3\right]_p^t\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]_0^p+\frac{\pi}{3}(t-p)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left(p-\frac{1}{2}\sin 2p\right)+\frac{\pi}{3}\sin^3 p\end{align*}}$ ←①より
となる。
両辺をpで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dp}V(t)=\frac{\pi}{2}\left(1-\cos 2p\right)+\pi\sin^2 p\cos p\end{align*}}$
であり、①の両辺をpで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1+\frac{dt}{dp}=\cos p\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{dp}{dt}=\frac{1}{1+\cos p}\end{align*}}$ ．
これらより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dt}V(t)=\frac{d}{dp}V(t)\cdot \frac{dp}{dt}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\pi}{4}=\left\{\frac{\pi}{2}\left(1-\cos 2p\right)+\pi\sin^2 p\cos p\right\}\cdot\frac{1}{1+\cos p}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\cos p=2-2\cos 2p+4\sin^2 p\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos p=1-2\left(2\cos^2p-1\right)+4(1-\cos^2p)\cos p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\cos^3p-4\cos^2p-3\cos p+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (\cos p+1)(4\cos^2p-3)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos p=-1\ ,\ \pm\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
0＜p＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{5\pi}{6}\end{align*}}$
(ア) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{5\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{5\pi}{6}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
を得るが、$\scriptsize\sf{\pi}$ ＞3なので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5\pi}{6}+\frac{1}{2}>\frac{5}{6}\cdot 3+\frac{1}{2}>3\end{align*}}$
となり、0＜t＜3を満たさない。
(イ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ （これは0＜t＜3を満たす。）
このとき、回転体の体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V(t)=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}\sin \frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}\sin^3\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{24}\left(2\pi-3\sqrt3+1\right)\ }\end{align*}}$
合成関数の微分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dp}\cdot \frac{dp}{dt}\end{align*}}$
を用いるのがミソです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/26(金) 01:15:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2010
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