第３問
1、2、3、4の数字が1つずつ書かれた4枚のカードを用いて、
次の手順で5桁の整数をつくる。まず1枚を取り出して現れた
数字を一の位とする。取り出した1枚を元に戻し、4枚のカード
をよく混ぜて、再び1枚を取り出して現れた数字を十の位とする。
このような操作を5回繰り返して、5桁の整数をつくる。得られた
整数をXとするとき、以下の問いに答えよ。
(１) Xに数字1がちょうど2回現れる確率を求めよ。
(２) Xに数字1と数字2がちょうど1回ずつ現れる確率を求めよ。
(３) Xにちょうど2回現れる数字が1種類以上ある確率を求めよ。
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【解答】
(１)
1が2回、1以外の数が3回現れればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_2\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3=\underline{\ \frac{135}{512}\ }\end{align*}}$
(２)
1が1回、2が1回、3または4が3回現れればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _5C_1\cdot _4C_1\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{2}{4}\right)^3=\underline{\ \frac{5}{32}\ }\end{align*}}$
(３)
(ア) 5数の組み合わせが○○□△☆ の場合
○の数の選び方は4通りあり、
5数の並べ方は、5C2・3! 通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\cdot _5C_2\cdot 3!\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{240}{4^5}\end{align*}}$
(イ) 5数の組み合わせが○○□□□ の場合
○の数の選び方は4通り、□の数の選び方は3通りあり、
5数の並べ方は、5C2 通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\cdot 3\cdot _5C_2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{120}{4^5}\end{align*}}$
(ウ) 5数の組み合わせが○○□□△ の場合
○、□の選び方は4C2通り、△の選び方は2通りあり、
5数の並べ方は、5C2・3C2 通りなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _4C_2\cdot 2\cdot_5C_2\cdot _3C_2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}=\frac{360}{4^5}\end{align*}}$
よって、求める確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{240}{4^5}+\frac{120}{4^5}+\frac{360}{4^5}=\underline{\ \frac{45}{64}\ }\end{align*}}$
(３)は(イ)のパターンを忘れないように！！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/26(金) 01:13:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2010
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(3)に関してなのですが、Xに2回現れる数字が一種類も存在しないを考えて解こうとしました。
4種の数字をABCDとすると
[1]AAAAA [2]AAAAB [3]AAABC
考えられ、
[1]のとき、の4種がAからDの4つ
[2]のとき、4つと1つになる数字の選び方4P2、そして5つの文字の並べ方5!/4! ゆえに4P2×5!/4!=60
[3]のとき、選ばない文字1つ選ぶため4C1、5つの文字の並べ方5!/3! ゆえに4C1×5!/3!=80
求める確率は1-(4+60+80)/4^5=55/64
何故これは違うのですが？
教えてください！
- 2015/04/08(水) 13:40:10 |
- URL |
- じゃがりこ #-
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コメントありがとうございます。
[1]、[2]は問題ないのですが、[3]のとき、3回現れるAは、1回しか現れないBやCと区別する必要があります。
例えば、4の文字が選ばれない場合、
11123
22231
33312
の3つの場合があるので
4C1×3×5!/3!=240
として、これらを区別します。
こうすれば、求める確率は1-(4+60+240)/4^5=45/64となります。
分かりにくい点があれば、遠慮なさらずにおっしゃってくださいね。
- 2015/04/08(水) 15:31:55 |
- URL |
- シケタキオア #-
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