第４問
四面体ABCDにおいて、辺ABの中点をM、辺CDの中点を
Nとする。以下の問いに答えよ。
(１) 等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}=\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}\end{align*}}$
を満たす点Pは存在するか。証明をつけて答えよ。
(２) 点Qが等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}|=|\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}|\end{align*}}$
を満たしながら動くとき、点Qが描く図形を求めよ。
(３) 点Rが等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RA}|^2+|\overrightarrow{\sf RB}|^2=|\overrightarrow{\sf RC}|^2+|\overrightarrow{\sf RD}|^2\end{align*}}$
を満たしながら動くとき、内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず
一定であることを示せ。
(４) (２)の点Qが描く図形と(３)の点Rが描く図形が一致する
ための必要十分条件は $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$ であることを示せ。
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【解答】
(１)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}}{2}=\frac{\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PM}=\overrightarrow{\sf PN}\end{align*}}$
と変形できるが、四面体ABCDにおいてM、Nが一致することは
あり得ないので、この式を満たす点Pは存在しない。
(２)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{\overrightarrow{\sf QA}+\overrightarrow{\sf QB}}{2}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{\sf QC}+\overrightarrow{\sf QD}}{2}\right|\ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf QM}\right|=\left|\overrightarrow{\sf QN}\right|\end{align*}}$
と変形できるので、Qは2点M、Nから距離にある。
よっって、Qが描く図形は、線分MNの中点を通って、
MNと垂直な平面である。
(３)
左辺$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MA}-\overrightarrow{\sf MR}|^2+|\overrightarrow{\sf MB}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MA}|^2+|\overrightarrow{\sf MB}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf MA}+\overrightarrow{\sf MB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2|\overrightarrow{\sf MA}|^2+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\ \ \ \ \left(\because \overrightarrow{\sf MB}=-\overrightarrow{\sf MA}\right)\end{align*}}$
右辺$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}-\overrightarrow{\sf MR}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2\left(\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}\right)\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\ \ \ \ \left(\because \overrightarrow{\sf MN}=\frac{\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}}{2}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2|\overrightarrow{\sf MA}|^2+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+2|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}=\frac{1}{4}\left(|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2|\overrightarrow{\sf MA}|^2\right)\end{align*}}$
となるので、内積 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}\end{align*}}$ はRのとり方によらず一定である。
(４)
(２)の点Qと(３)の点Rが同じ図形を描くためには
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RM}|=|\overrightarrow{\sf RN}|\end{align*}}$
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf RM}|^2=|\overrightarrow{\sf RN}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf MR}|^2=|\overrightarrow{\sf MN}-\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =|\overrightarrow{\sf MN}|^2-2\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}+|\overrightarrow{\sf MR}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf MN}\cdot\overrightarrow{\sf MR}=|\overrightarrow{\sf MN}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\left(|\overrightarrow{\sf MC}|^2+|\overrightarrow{\sf MD}|^2-2|\overrightarrow{\sf MA}|^2\right)=\left|\frac{\overrightarrow{\sf MC}+\overrightarrow{\sf MD}}{2}\right|^2\end{align*}}$ ←(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf MC}|^2+2|\overrightarrow{\sf MD}|^2-4|\overrightarrow{\sf MA}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2+2\overrightarrow{\sf MC}\cdot\overrightarrow{\sf MD}+|\overrightarrow{\sf MD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4|\overrightarrow{\sf MA}|^2=|\overrightarrow{\sf MC}|^2-2\overrightarrow{\sf MC}\cdot\overrightarrow{\sf MC}+|\overrightarrow{\sf MD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\left|\frac{\overrightarrow{\sf AB}}{2}\right|^2=|\overrightarrow{\sf MD}-\overrightarrow{\sf MC}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf CD}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf AB}|=|\overrightarrow{\sf CD}|\end{align*}}$
よって、題意は示された。
適当に式をいじっていれば最後までたどり着けると思いますよ。
ベクトルの計算は始点をそろえるのが基本です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/26(金) 01:14:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2010
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