第１問
f(x)＝x3＋3x2－9xとする。y＜x＜aを満たす全てのx、yに
対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)>\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{a-y}\end{align*}}$
が成り立つようなaの範囲を求めよ。
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【解答】
与式の右辺をg(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{a-y}=\frac{\left(x-y\right)f\ (a)+\left(a-x\right)f\ (y)}{(a-x)+(x-y)}\end{align*}}$
と変形できるので、点(x，g(x))は、2点(a，f(a))、(y，f(f))を
結ぶ線分を(a－x)：(x－y)の比に内分する点を表す。
よって、任意のx、yに対して、f(x)＞g(x)を満たすためには、
x＜aの範囲で常にf(x)が上に凸であればよい。
一方、f(x)の導関数は、
f’(x)＝3x2＋6x－9＝3(x＋3)(x－1)
f”(x)＝6x＋6＝6(x＋1)
となるので、f(x)はx≦－1の範囲で上に凸となる。
以上より、求めるaの値の範囲は、
a≦－1
となる。
そのまま計算すると計算が死ぬので、うまく誤魔化しましょうｗｗ
しかしまぁ、答案が書きにくいですなぁ・・・
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/26(金) 01:11:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .東北大 理系 2010
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