青木ゼミ青木
橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ
2007京都大 文系数学5
第5問
nを1以上の整数とするとき、次の2つの命題はそれぞれ正しいか。
正しいときは証明し、正しくないときはその理由を述べよ。
命題p:あるnに対して、
と
は共に有理数である。
命題q:すべてのnに対して、
は無理数である。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
【命題pについて】
が有理数であると仮定すると、互いに素な自然数a、b
を用いて
と表せる。両辺を2乗すると
となり、nは自然数なのでb=1、すなわち
.
これより、
と
が共に有理数であると仮定すると、
自然数a、Aを用いて
と表すことができる。
これら2式よりnを消去すると、
となり、a、Aはともに自然数なので、
.
これはaが自然数であることに矛盾するので、
と
が共に有理数となることはない。・・・・①
よって、命題pは正しくない。
【命題qについて】
が有理数であると仮定し、その値をcとおくと、
・・・・②
と表すことができる。
②の両辺を2乗すると、
となり、cは有理数なので
は有理数となる。
よって、②より
も有理数となるが、
このことは①に矛盾するので、
は無理数である。
よって、命題qは正しい。
無理数であることの証明は、いつも通り背理法です!
解答を閉じる↑
テーマ:
数学
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学問・文化・芸術
2013/11/20(水) 20:00:00
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大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2007
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