青木ゼミ青木
橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ
2007京都大 文系数学1
第1問
次の各問いにそれぞれ答えよ。
(1)
とするとき、A
6
+2A
4
+2A
3
+2A
2
+2A+3Eを求めよ。
(2) 四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDを考える。点Pは
時刻0では頂点Oにあり、1秒ごとに次の規則に従ってこの
四角錐の5つの頂点のいずれかに移動する。
規則:点Pのあった頂点と1つの辺によって結ばれる
頂点の1つに、等しい確率で移動する。
このとき、n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
解答はこちら↓
--------------------------------------------
【解答】
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A
2
-A+2E=O ・・・・①
ここで、筆算を用いてxについて整式
x
6
+2x
4
+2x
3
+2x
2
+2x+3
をx
2
-x+2で割ると、
x
6
+2x
4
+2x
3
+2x
2
+2x+3
=(x
2
-x+2)(x
4
+x
3
+x
2
+x+1)+x+1
となり、AとEは可換なので
A
6
+2A
4
+2A
3
+2A
2
+2A+3E
=(A
2
-A+2E)(A
4
+A
3
+A
2
+A+E)+A+E
=A+E ←①より
と変形できる。
これに成分を代入すると、与式の値は、
となる。
(2)
n秒後に点Pが頂点Oにある確率をp
n
とおくと、
n秒後に点Pが底面ABCD上にある確率は1-p
n
と表せる。
・n秒後に点Pが頂点Oにあるとき
n+1秒後には必ず底面ABCD上に移動する。
・n秒後に点Pが底面ABCD上にあるとき
n+1秒後には
の確率で頂点Oに移動する。
これらより、任意の自然数nに対して
という関係が成り立つ。この式は
と変形できるので、数列
は等比数列をなす。
よって、
どちらも典型的な問題ですね。
解答を閉じる↑
テーマ:
数学
- ジャンル:
学問・文化・芸術
2013/11/16(土) 23:51:00
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大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都大 文系 2007
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