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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008京都工芸繊維大 前期 数学4



第4問

  nを自然数とする。x>0に対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=\frac{x}{(x^2+1)^n}\ \ ,\ \ g_n(x)=\int_1^xf_n(t)\log t dt\end{align*}}$
  とおく。

 (1) 不定積分 $\small\sf{\begin{align*} \sf \int f_n(x)dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_1^x\frac{t^3}{(t^2+1)^{n+1}}\ \log t\ dt=g_n(x)-g_{n+1}(x)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) x>0において微分可能な関数f(x)について、等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\left\{f(x)+xf'(x)\right\}\ \log x\ dx=xf(x)\log x-\int f(x)dx\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (4) (2)、(3)を利用して、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf (1-n)g_n(x)+ng_{n+1}(x)+\frac{1}{2}\int_1^xf_n(t)\ dt\end{align*}}$
    を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2013/10/27(日) 03:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .京都工芸繊維大 前期 2008
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