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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010大阪大 理系数学5



第5問

   nを0以上の整数とする。立方体ABCD-EFGHの頂点を、以下のように移動
  する2つの動点P、Qを考える。時刻0にはPは頂点Aに位置し、Qは頂点Cに位置
  している。時刻nにおいて、PとQが異なる頂点に位置していれば、時刻n+1には、
  Pは時刻nに位置していた頂点から、それに隣接する3頂点のいずれかに等しい確
  率で移る。一方、時刻nにおいて、PとQが同じ頂点に位置していれば、時刻n+1
  にはPもQも時刻nの位置からは移動しない。

 (1) 時刻1において、PとQが異なる頂点に位置するとき、PとQはどの頂点に
    あるか。可能な組み合わせをすべて挙げよ。

 (2) 時刻nにおいて、PとQが異なる頂点に位置する確率rnを求めよ。

 (3) 時刻nにおいて、PとQがともに上面ABCDの異なる頂点に位置するか、
    またはともに下面EFGHの異なる頂点に位置するかのいずれかである確率
    をpnとする。また、時刻nにおいて、PとQのいずれか一方が上面BACD、
    他方が下面EFGHにある確率をqnとする。Pn+1を、pnとqnを用いて表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{q_n}{p_n}\end{align*}}$ を求めよ。

図04









テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2011/10/11(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2010
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