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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011滋賀医科大 数学3



第3問

  文字x、y、zの任意の整式Aに対して、x、y、zをそれぞれsin$\small\sf{\theta}$ 、
  cos$\small\sf{\theta}$ 、tan$\small\sf{\theta}$ に置き換えて得られる$\small\sf{\theta}$ の関数を $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{A}(\theta)\end{align*}}$ で表す。
  例えば、
     P=x5+z4-xyz ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\sin^5\theta+\tan^4\theta-\sin\theta\cos\theta\tan\theta\end{align*}}$
     P=x2+y2、 Q=1 ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$
  である。ただし、$\small\sf{\theta}$ の関数の定義域は0≦$\small\sf{\theta}$ ≦2$\small\sf{\pi}$ 、$\small\sf{\theta}$ ≠$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$
  とする。

 (1) Pをx、y、zの整式とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となるy、zの整式Qが
    存在することを示せ。

 (2) Pをx、y、zの整式とする。$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(0)=\tilde{P}(\pi)\end{align*}}$ ならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となる
    x、zの整式Qが存在することを示せ。

 (3) Pをx、y、zの整式とする。$\small\sf{\theta}$ →$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、および$\small\sf{\theta}$ →$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、
    $\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)\end{align*}}$がそれぞれ収束するならば$\small\sf{\begin{align*}\sf \tilde{P}(\theta)=\tilde{Q}(\theta)\end{align*}}$ となるx、yの整式Qが
    存在することを示せ。ただし、収束とは一定の実数に限りなく近
    づくことである。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/10/06(土) 03:11:00|
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