2013福島県立医科大 数学２

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=|\overrightarrow{\sf c}|=8\end{align*}}$　　････①
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=8\cdot 8\cdot\cos 60^{\circ}=32\end{align*}}$　　････②

　(１)
　　　題意より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OE}=\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf OF}=\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　となり、Gは△DEFの重心なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}+\overrightarrow{\sf OF}}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\overrightarrow{\sf a}+\frac{5}{24}\overrightarrow{\sf b}+\frac{5}{24}\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　r、s、tを実数として、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}=r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　とおく。
　　　GH⊥平面DEFより、GH⊥DE かつ GH⊥EFなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}\cdot\overrightarrow{\sf DE}=\left(r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c} \right)\cdot\left(\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf b}-\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a} \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5r\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+5s|\overrightarrow{\sf b}|^2+5t\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}-3r|\overrightarrow{\sf a}|^2 -3s\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-3t\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 64\left(5s-3r \right)+32\left(5r+5t-3s-3t \right)=0\end{align*}}$　　←①、②より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -r+7s+2t=0\end{align*}}$　　････③

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}\cdot\overrightarrow{\sf EF}=\left(r\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c} \right)\cdot\left(\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf c}-\frac{5}{8}\overrightarrow{\sf b} \right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}+s\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+t|\overrightarrow{\sf c}|^2-r\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-s|\overrightarrow{\sf b}|^2-t\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 64\left(t-s \right)+32\left(r+s-r-t \right)=0\end{align*}}$　　←①、②より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s-t=0\end{align*}}$　　････④
　　　となり、③、④より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=9t\ ,\ s=t\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf GH}=9t\overrightarrow{\sf a}+t\overrightarrow{\sf b}+t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ．

　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\overrightarrow{\sf OG}+\overrightarrow{\sf GH}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(9t+ \frac{1}{8}\right)\overrightarrow{\sf a}+\left(t+ \frac{5}{24}\right)\overrightarrow{\sf b}+\left(t+ \frac{5}{24}\right)\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　となり、Hは平面ABC上にあるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(9t+ \frac{1}{8}\right)+\left(t+ \frac{5}{24}\right)+\left(t+ \frac{5}{24}\right)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{1}{24}\end{align*}}$ ．
　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf GH}=\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}=\underline{\ \frac{1}{2}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$ ．


　(３)
　　　△OEFは正三角形になるので、EF＝5であり、
　　　△ODE、△ODFにおいて余弦定理を用いると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DE^2=DF^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot\cos 60^{\circ}=19\end{align*}}$．
　　　EFの中点をMとすると、△DEFは二等辺三角形なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DM=\sqrt{19-\left( \frac{5}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{51}}{2}\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle DEF=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{\sqrt{51}}{2}=\frac{5\sqrt{51}}{4} \end{align*}}$ ．

　　　また(２)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf GH}|^2=\left|\frac{3}{8}\overrightarrow{\sf a}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf b}+\frac{1}{24}\overrightarrow{\sf c}\right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{24^2}\left(81|\overrightarrow{\sf a}|^2+|\overrightarrow{\sf b}|^2+|\overrightarrow{\sf c}|^2+18\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+2\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}+18\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{34}{3}\end{align*}}$　　←①、②より
　　　以上より、四面体DEFHの体積をVとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\triangle DEF\times GH\times \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5\sqrt{51}}{4}\cdot\sqrt{\frac{34}{3}}\cdot \frac{1}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{85\sqrt2}{12}\ }\end{align*}}$ ．



　　やっていることはさほど難しくないのですが、計算がイヤですね・・・