第４問
1から4までの数字が1つずつ書かれた4枚のカードがある。
その4枚のカードを横一列に並べ、以下の操作を考える。
操作：1から4までの数字が1つずつ書かれた4個の球が
入っている袋から同時に2個の球を取り出す。
球に書かれた数字がiとjならば、iのカードとjの
カードを入れかえる。その後、2個の球は袋に戻す。
初めにカードを左から順に1、2、3、4と並べ、上の操作を
2回繰り返した後のカードについて、以下の問いに答えよ。
(１) カードが左から順に1、2、3、4と並ぶ確率を求めよ。
(２) カードが左から順に4、3、2、1と並ぶ確率を求めよ。
(３) 左端のカードの数字が1になる確率を求めよ。
(４) 左端のカードの数字の期待値を求めよ。
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【解答】
以下、1と2のカードを入れ換えることを(1，2)のように
書くことにすると、玉の取り出し方の総数は、
(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，3)、(2，4)、(3，4)
の6通りある。
(１)
1回目と2回目が同じカードの組み合わせが選ばれれば
よいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} 1\times\frac{1}{6}=\underline{\ \frac{1}{6}\ }\end{align*}}$
(２)
1回目(1，4)、2回目(2，3) または
1回目(2，3)、2回目(1，4) となればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times2!=\underline{\ \frac{1}{18}\ }\end{align*}}$
(３)
1のカードが何回移動したかによって場合分けする。
① 2回とも1が移動しないとき
2回とも(2，3)、(2，4)、(3，4)のいずれかであればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{3}{6}\times\frac{3}{6}=\frac{9}{36}\end{align*}}$
② 1回目に1が移動し、2回目に左端に戻ってくるとき
1回目は(1，2)、(1，3)、(1，4)のいずれかで、
2回目は2回目と同じ入れ替えがおこればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{3}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{3}{36}\end{align*}}$
以上の合計は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \frac{9}{36}+\frac{3}{36}=\underline{\ \frac{1}{3}\ }"\end{align*}}$
(４)
左端が2、3、4になる確率はすべて等しいので、
それぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \left(1-\frac{1}{3}\right)\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}\end{align*}}$ ．
よって、左端の数の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} 1\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{2}{9}+3\cdot\frac{2}{9}+4\cdot\frac{2}{9}=\underline{\ \frac{7}{3}\ }\end{align*}}$
(４)は、2、3、4が同等に扱えると言うことに気づけば楽です。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/17(水) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .九州大 文系 2011
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