2011九州大 文系数学２

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【解答】

　(１)
　　　順次計算していくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{\frac{2}{\sqrt 3}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt3} \right)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2\sqrt 3}{1-\left(\sqrt3 \right)^2}=-\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{-2\sqrt 3}{1-\left(-\sqrt3 \right)^2}=\sqrt3\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \vdots\end{align*}}$
　　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{10}=\sqrt3\ \ ,\ \ a_{11}=-\sqrt3\ }" \end{align*}}$


　(２)
　　　tanの加法定理より
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \tan \frac{\pi}{12}=\tan \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \frac{\pi}{3}-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \frac{\pi}{3}\tan \frac{\pi}{4}}\end{align*}}$
　　　　これを計算すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \tan \frac{\pi}{12}=\underline{\ 2-\sqrt3\ }\end{align*}}$


(３)
　　　順次計算していくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{2a_1}{1-a_1^2}=\frac{2\tan \frac{\pi}{7}}{1-\tan^2\frac{\pi}{7}}=\tan \frac{2\pi}{7}\ne\tan\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2a_2}{1-a_2^2}=\frac{2\tan \frac{2\pi}{7}}{1-\tan^2\frac{2\pi}{7}}=\tan \frac{4\pi}{7}\ne\tan\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_4=\frac{2a_3}{1-a_3^2}=\frac{2\tan \frac{4\pi}{7}}{1-\tan^2\frac{4\pi}{7}}=\tan \frac{8\pi}{7}=\tan\frac{\pi}{7}\end{align*}}$
　　　　となるので、条件を満たす最小の自然数kは
　　　　　　　　　　　k＝4
　　　　である。




　　tanの倍角公式に気づくかがポイントです。