2011九州大 文系数学３

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【解答】

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$　　････(※)

　(１)
　　　(※)より　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OM}\end{align*}}$　　（←MはBCの中点）
　　　となるので、AはOMの中点である。


　(２)
　　　BC＝2より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BC}|^2=|\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}|^2=2^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-2\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=4\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\frac{|\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-4}{2}\end{align*}}$　　････①
　　　また、AB⊥ACなので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\left( \overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left( \overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OA}\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\overrightarrow{\sf OB}- \frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}- \frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\right)=0\end{align*}}$　　←(※)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(3\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC} \right)\cdot\left( \overrightarrow{\sf OB}-3\overrightarrow{\sf OC}\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3|\overrightarrow{\sf OB}|^2+3|\overrightarrow{\sf OC}|^2-10\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0\end{align*}}$ ．
　　　これに①を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3|\overrightarrow{\sf OB}|^2+3|\overrightarrow{\sf OC}|^2-5\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-4\right)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2=10\end{align*}}$
　　　となるので、題意は示された。


　(３)　　　
　　　題意より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4|\overrightarrow{\sf PA}|^2-|\overrightarrow{\sf PB}|^2-|\overrightarrow{\sf PC}|^2=-4\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4|\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OP}|^2-|\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OP}|^2-|\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OP}|^2=-4\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf OP}|^2+4|\overrightarrow{\sf OA}|^2-\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2\right)-2\left( 4\overrightarrow{\sf OA}-\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}=-4\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2|\overrightarrow{\sf OP}|^2+4|\overrightarrow{\sf OA}|^2-10-\overrightarrow{\sf 0}\cdot\overrightarrow{\sf OP}=-4\end{align*}}$　　←(２)と(※)より
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OP}|^2=-2|\overrightarrow{\sf OA}|^2+3\end{align*}}$　　････②

　　　ここで(※)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2=\left|\frac{\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+2\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16}\left\{ |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2+\left( |\overrightarrow{\sf OB}|^2+|\overrightarrow{\sf OC}|^2-4\right)\right\}\end{align*}}$　　←①より
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1\end{align*}}$　　←(２)より
　　　よって、②より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=-2+3=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ |\overrightarrow{\sf OP}|=1\ }\end{align*}}$




　　Mが△ABCの外接円の中心となることに気づくと、
　　計算せずにOA＝AM＝1を得ることができます。