2011九州大 文系数学１

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【解答】

　(１)
　　　直線PHの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t^2=-(x-t)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+t^2+t\end{align*}}$
　　　であり、これと直線y＝xの交点は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-x+t^2+t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t^2+t}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、交点Hの座標は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left( \frac{t^2+t}{2}\ ,\ \frac{t^2+t}{2}\right)\ }\end{align*}}$


　(３)
　　　R(t，t)なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle PRH=\frac{1}{2}\cdot\left( t^2-t\right)\left( \frac{t^2+t}{2}-t\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}\left( t^2-t\right)^2\ }\end{align*}}$


　(３)　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\int_1^t\left( x^2-x\right)dx+\triangle PRH\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[ \frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x\right]_1^t+\frac{1}{4}\left( t^2-t\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{4}t^4-\frac{1}{6}t^3-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{6}\ }\end{align*}}$


　(４)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_0^1(x-x^2)dx=\frac{1}{6}(1-0)^3"=\frac{1}{6}/>
　　　であり、S₁＝S₂なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}t^4-\frac{1}{6}t^3-\frac{1}{4}t^2+\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^4-2t^3-3t^2=t^2(3t^2-2t-3)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{1+\sqrt{10}}{3}\ \ \ (t>1)\ }\end{align*}}$




　　こういう問題は落とさないように！