2010名古屋大 文系数学３

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【解答】

　(１)
　　　右図より、

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_1=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ c_1=0\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b_2=\frac{1}{4}\ \ ,\ \ c_1=\frac{1}{4}\end{align*}}$





　(２)
　　　・n回の操作後にAが赤玉を持っている状態で、
　　　　　　　表が出ると、Bが赤玉
　　　　　　　裏が出ると、Aが赤玉
　　　・n回の操作後にBが赤玉を持っている状態で、
　　　　　　　表が出ると、Aが赤玉
　　　　　　　裏が出ると、Cが赤玉
　　　・n回の操作後にCが赤玉を持っている状態で、
　　　　　　　表が出ると、Cが赤玉
　　　　　　　裏が出ると、Bが赤玉

　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ b_n\end{align*}}$　････①
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$　････②
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{n+1}=\frac{1}{2}\ b_n+\frac{1}{2}\ c_n\end{align*}}$　････③


　(３)
　　　自然数nに対して、
　　　　　a_2n-1＝b_2n-1＞c_2n-1、　a_2n＞b_2n＝c_2n　････(※)
　　　であることを数学的帰納法で示す。
　　　(ⅰ)n＝1のときは、(１)よりOK
　　　(ⅱ)n＝kのとき(※)が成り立つとする。
　　　　　すなわち、
　　　 　　　　a_2k-1＝b_2k-1＞c_2k-1
　　　 　　　　a_2k＞b_2k＝c_2k　　　　　････④
　　　　　n＝k＋1のとき、①～③より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2k+1}=\frac{1}{2}\ a_{2k}+\frac{1}{2}\ b_{2k}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{2k+1}=\frac{1}{2}\ a_{2k}+\frac{1}{2}\ c_{2k}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{2k+1}=\frac{1}{2}\ b_{2k}+\frac{1}{2}\ c_{2k}\end{align*}}$
　　　　　であり、これらと④より
　　　　　　　　　a_2k＋b_2k＝a_2k＋c_2k＞b_2k＋c_2k
　　　　　　　⇔　a_2k+1＝b_2k+1＞c_2k+1　　･････⑤
　　　　　さらに、①～③より
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{2(k+1)}=\frac{1}{2}\ a_{2k+1}+\frac{1}{2}\ b_{2k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{2(k+1)}=\frac{1}{2}\ a_{2k+1}+\frac{1}{2}\ c_{2k+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_{2(k+1)}=\frac{1}{2}\ b_{2k+1}+\frac{1}{2}\ c_{2k+1}\end{align*}}$
　　　　　であり、これらと⑤より
　　　　　　　　　a_2k+1＋b_2k+1＞a_2k+1＋c_2k+1＝b_2k+1＋c_2k+1
　　　　　　　⇔　a_2(k+1)＞b_2(k+1)＝c_2(k+1)
　　　　　よって、n＝k＋1のときも(※)は成立する。

　　　以上より、任意の自然数nに対して(※)は成立するので、
　　　題意は示された。
　　


　(４)
　　　a_n＋b_n＋c_n＝1 を②に代入すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}=\frac{1}{2}\ (1-\ b_n)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\ \left(\ b_n-\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
　　　数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf \ b_n-\frac{1}{3} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、初項 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ 、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$ の等比数列なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\ \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\underline{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\ \ }\end{align*}}$




　　ａ_n＋ｂ_n＋ｃ_n＝１という条件を忘れてはいけません。