2010名古屋大 文系数学２

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　y＝ax＋bは単調な関数なので、y＝f(x)のグラフと

　　　2つの交点を持つためには、
　　　y＝0（x＜0）の部分およびy＝1（x≧0）の部分と
　　　それぞれ1つずつ交点を持つことになる（右図）。
　　　よって、a、bの満たすべき条件は、
　　　　　　　a＞0 かつ 0＜b≦1
　　　である。


　(２)
　　　　　　　　g(x)＝x³＋6px²＋9p²x＋q
　　　とおくと、導関数は
　　　　　　　　g’(x)＝3x²＋12px＋9p²
　　　　　　　　　　　 ＝3(x＋9)(x3p)
　　　となるので、p＞0よりg(x)の増減は次のようになる。

　　　　

　　　これより、g(x)はx＞0では単調に増加するので、
　　　y＝1（x≧0）の部分との交点は多くても1個であり、

　　　右図のようにy＝0（x＜0）の部分と3点で交わる
　　　必要がある。
　　　よって、満たすべき条件は、
　　　　　　g(－3p)＝q＞0
　　　　　　g(－p)＝q－4p³＜0　⇔　q＜4p³
　　　　　　切片　0＜q≦1
　　　であり、これを図示すると下図のようになる。
　　　境界は、q＝0上の点およびq＝4p³上の点を除く。

　　　
　　　　　　　

　　　
　　　


　　答案が書きにくいですが、図を添えておけば何となくごまかせますｗｗ