以下、玉の色を順に
　　　　　【箱1→2の移動、箱2→3の移動、箱3→4の移動、･･･】
　　　のように表記する。

　(１)
　　　箱1に入っているq＋r個から1個の玉を箱2に移動させるので、
　　　その総数は
　　　　　　　　　s₂＝q＋r

　(２)
　　　箱1のq＋r個から1個の玉を箱2に移動させた後、
　　　箱2のq＋r＋1個から1個の玉を箱3に移動させるので、
　　　その総数は
　　　　　　　　　s₃＝(q＋r)(q＋r＋1)

　　　このうちで、箱3に白玉がq＋1個入るのは
　　　　　①【白、白】のパターン････q(q＋1)通り
　　　　　②【赤、白】のパターン････qr通り
　　　よって、これらの合計は
　　　　　　　ａ₃＝q(q＋r＋q)

　(３)
　　　箱1のq＋r個から1個の玉を箱2に移動させた後、
　　　箱2のq＋r＋1個から1個の玉を箱3に移動させ、
　　　箱3のq＋r＋1個から1個の玉を箱4に移動させるので、
　　　その総数は
　　　　　　　　　s₄＝(q＋r)(q＋r＋1)²

　　　このうちで、箱4に白玉がq＋1個入るのは
　　　　　①【白、白、白】のパターン････q(q＋1)²通り
　　　　　②【赤、白、白】のパターン････q(q＋1)ｒ通り
　　　　　③【白、赤、白】のパターン････q²ｒ通り
　　　　　④【赤、赤、白】のパターン････qr(r＋1)通り
　　　よって、これらの合計は
　　　　　　ａ₄＝q(q＋1)²＋q(q＋1)ｒ＋q²r＋qr(r＋1)
　　　　　　　 ＝q(q＋1)(q＋r＋1)＋qr(q＋r＋1)
　　　　　　　 ＝q(q＋r＋1)²




　　　問題文が長くてイヤになりますが（笑）、意味さえ把握できれば
　　　そこまで難しくないと思います。