2011北海道大 文系数学２

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【解答】

　(１)
　　　Cが点P、Qを通るこより
　　　　　　　　3＝a－b＋c　かつ　4＝a＋b＋c．
　　　これら2式の差をとると　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1=-2b\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=\frac{1}{2}\ }\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=4-a-b=\underline{\ -a+\frac{7}{2}\ }\end{align*}}$ ．

　(２)
　　　(１)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=ax^2+\frac{1}{2}x-a+\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　となり、導関数は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=2ax+\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　なので、接線L₁、L₂の方程式は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ y-3=\left(-2a+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(-2a+\frac{1}{2}\right)x-2a+\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ y-4=\left(2a+\frac{1}{2}\right)\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\left(2a+\frac{1}{2}\right)x-2a+\frac{7}{2}\end{align*}}$ ．
　　　これら2式を連立させて解くと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-2a+\frac{1}{2}\right)x-2a+\frac{7}{2}=\left(2a+\frac{1}{2}\right)x-2a+\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ ,\ \ y=-2a+\frac{7}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、2接線の交点は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ -2a+\frac{7}{2}\right)\ }\end{align*}}$ ．


　(３)
　　　C、L₁、L₂で囲まれる面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^0\left\{ \left( ax^2+\frac{1}{2}x-a+\frac{7}{2}\right)-\left(-2a+\frac{1}{2}\right)x+2a-\frac{7}{2}\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_0^1\left\{ \left( ax^2+\frac{1}{2}x-a+\frac{7}{2}\right)-\left(2a+\frac{1}{2}\right)x+2a-\frac{7}{2}\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^0\left( ax^2+2ax+a\right)dx+\int_{0}^1\left( ax^2-2ax+a\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\left[\frac{1}{3}x^3+x^2+x\right]_{-1}^0+a\left[\frac{1}{3}x^3-x^2+x\right]_{0}^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}a\end{align*}}$
　　　これが1に等しいので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{3}{2}\ }\end{align*}}$




　　図略でいいですか（笑）？