第4問
$\small\sf{\begin{align*}\sf y=f\ (x)=\sqrt{x^2(x+1)}\ \ \ (x\geqq -1)\end{align*}}$
とする。
(1) 関数y=f(x)は原点x=0で微分可能であるかどうか答えよ。
(2) 関数y=f(x)の増減、凹凸、極値を調べ、関数y=f(x)のグラフの
概形を描け。また、極値が存在すれば極値を全て求めよ。
(3) 関数y=f(x)のグラフとx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ。
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【解答】
(1)
x>0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x\sqrt{x+1}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{x\sqrt{x+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x+1}=1\end{align*}}$
一方、x<0のときは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=-x\sqrt{x+1}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{-x\sqrt{x+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow -0}\left(-\sqrt{x+1}\right)=-1\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\ne\lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\end{align*}}$
なので、f(x)はx=0で微分可能ではない。
(2)
(ⅰ) x>0の範囲において
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=\frac{3\sqrt{x+1}-(3x+2)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2(x+1)}=\frac{3x+4}{4(x+1)\sqrt{x+1}}\ (>0)\end{align*}}$
(ⅱ) -1≦x<0の範囲において
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-\frac{3x+4}{4(x+1)\sqrt{x+1}}\ (<0)\end{align*}}$
これらより、
-1≦x におけるf(x)の増減・凹凸は次のようになる。

これよりグラフは右図のようになり、
極値は
x=0で極小0
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{2}{3}\end{align*}}$ で極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{9}\sqrt3\end{align*}}$
(3)
囲まれる部分の面積をSとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_{-1}^0\left(-x\sqrt{x+1}\right)\ dx\end{align*}}$
となり、t=x+1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{dx}=1\end{align*}}$
であり、x:-1→0に対応するtはt:0→1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1(1-t)\sqrt{t}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}}\right)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4}{15}\ }\end{align*}}$
微分可能の定義は大丈夫ですか?
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/01(月) 04:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .奈良県立医大 2008
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