2008奈良県立医科大 数学４

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【解答】

　(１)
　　　x＞0のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=x\sqrt{x+1}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{x\sqrt{x+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow +0}\sqrt{x+1}=1\end{align*}}$

　　　一方、x＜0のときは $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=-x\sqrt{x+1}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{-x\sqrt{x+1}-0}{x}=\lim_{x\rightarrow -0}\left(-\sqrt{x+1}\right)=-1\end{align*}}$

　　　以上より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\ne\lim_{x\rightarrow -0}\ \frac{f\ (x)-f\ (0)}{x-0}\end{align*}}$
　　　なので、f(x)はx＝0で微分可能ではない。


　(２)
　　　(ⅰ) x＞0の範囲において
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\ (>0)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=\frac{3\sqrt{x+1}-(3x+2)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}{2(x+1)}=\frac{3x+4}{4(x+1)\sqrt{x+1}}\ (>0)\end{align*}}$

　　　(ⅱ) －1≦x＜0の範囲において
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-\frac{3x+4}{4(x+1)\sqrt{x+1}}\ (<0)\end{align*}}$
　　　これらより、
　　　－1≦x におけるf(x)の増減・凹凸は次のようになる。

　　　　　　　

　　　これよりグラフは右図のようになり、
　　　極値は
　　　　　　x＝0で極小0
　　　　　　x＝$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{2}{3}\end{align*}}$ で極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{9}\sqrt3\end{align*}}$



　(３)
　　　囲まれる部分の面積をSとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_{-1}^0\left(-x\sqrt{x+1}\right)\ dx\end{align*}}$
　　　となり、t＝x＋1とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dt}{dx}=1\end{align*}}$
　　　であり、x：－1→0に対応するtはt：0→1なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\int_0^1(1-t)\sqrt{t}\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\int_0^1\left(t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}}\right)\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}\right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{4}{15}\ }\end{align*}}$





　　微分可能の定義は大丈夫ですか？