(1)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=xt^2+yt\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =x\left(t+\frac{y}{2x}\right)^2-\frac{y^2}{4x}\end{align*}}$

　　軸の位置によって場合分けをしていく。
　　　

　(ⅰ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{y}{2x}<0\ \Leftrightarrow\ 0\lt y\end{align*}}$ のとき

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)-f(0)=x+y\end{align*}}$







　(ⅱ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq-\frac{y}{2x}<\frac{1}{2}\ \Leftrightarrow\ -x\lt y\leqq 0\end{align*}}$　のとき

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(1)-f\left(-\frac{y}{2x}\right)=x+y+\frac{y^2}{4x}\end{align*}}$







　(ⅲ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\leqq-\frac{y}{2x}<1\ \Leftrightarrow\ -2x\lt y\leqq-x\end{align*}}$　のとき　

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)-f\left(-\frac{y}{2x}\right)=\frac{y^2}{4x}\end{align*}}$







　(ⅳ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq-\frac{y}{2x}\ \Leftrightarrow\ y\leqq-2x\end{align*}}$　のとき　

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(0)-f(1)=-x-y\end{align*}}$




(2)
　　題意を満たすためには、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq f(t)_{min}+z\ <\ f(t)_{max}+z \leqq 1\end{align*}}$
　　すなわち、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f(t)_{min}\leqq z\ \leqq -\ f(t)_{max}+1\end{align*}}$

　　を満たすようなzが存在すればよいので、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f(t)_{min}\leqq \ -f(t)_{max}+1\end{align*}}$
　　すなわち、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)_{max}-f(t)_{min}\leqq \ 1\end{align*}}$
　　であればよい。

　　ここで、(1)の結論を用いると、以下のとおり。



　(ⅰ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt y\end{align*}}$ のとき
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+y\leqq 1\end{align*}}$　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\leqq-x+1\end{align*}}$

　　　これを図示すると右図のようになる。













　(ⅱ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x\lt y\leqq0\end{align*}}$ のとき

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x+y+\frac{y^2}{4x}\leqq1\end{align*}}$
　　　　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x-2\sqrt{x}\leqq y \leqq -2x+2\sqrt{x}\end{align*}}$

　　　ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x\end{align*}}$ なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x-2\sqrt{x}\lt -x\end{align*}}$　
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x\lt y \leqq-2x+2\sqrt{x}\end{align*}}$

　　　曲線　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=g(x)=-2x+2\sqrt{x}\end{align*}}$ の概形を求める。
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g'(x)=-2+2\frac{1}{\sqrt{x}}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{4}(\gt 0)\end{align*}}$ で、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g'(x)=0\end{align*}}$

　　　　（増減表）
　　　


　　　　増減表と、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(1)=0\ ,\ g'(1)=-1\ ,\ g(4)=-4\end{align*}}$　などを考慮して図示すると右図のようになる。













　(ⅲ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2x\lt y\leqq-x\end{align*}}$ のとき　

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4x}\leqq1\end{align*}}$ すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x\geqq\frac{1}{4}y^2\end{align*}}$

　　　これを図示すると右図のようになる。













　(ⅳ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\leqq-2x\end{align*}}$ のとき　

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x-y\leqq1\end{align*}}$ すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\leqq-x-y\end{align*}}$

　　　これを図示すると右図のようになる。







　　以上をまとめると、

　　　　　　　　

境界はy軸上の点を除く。


(3)
　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=k\ \ (0\leqq k\leqq 1)\end{align*}}$　と固定する。
　　(2)と同様に、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f(t)_{min}\leqq z\ \leqq -\ f(t)_{max}+1\end{align*}}$
　　が成り立てばよいので、(1)の結果を用いると、


　(ⅰ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt y\end{align*}}$ のとき

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f(0)\leqq z \leqq 1-f(1)\end{align*}}$
　　　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq z \leqq -y+1-k\end{align*}}$　
　　　これをyz平面上に図示したものが、右図の赤色の部分


　(ⅱ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -k\lt y\leqq0\end{align*}}$ のとき

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f\left(-\frac{y}{2x}\right)\leqq z \leqq 1-f(1)\end{align*}}$
　　　　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4k}\leqq z \leqq -y+1-k\end{align*}}$
　　　これをyz平面上に図示したものが、右図の青色の部分


　(ⅲ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -2k\lt y\leqq -k\end{align*}}$ のとき　

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f\left(-\frac{y}{2x}\right)\leqq z \leqq 1-f(0)\end{align*}}$
　　　　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{y^2}{4k}\leqq z \leqq 1\end{align*}}$
　　　これをyz平面上に図示したものが、右図の緑色の部分


　(ⅳ)　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\leqq-2k\end{align*}}$ のとき　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -f(1)\leqq z \leqq 1-f(0)\end{align*}}$
　　　すなわち　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -y-k\leqq z \leqq 1\end{align*}}$
　　　これをyz平面上に図示したものが、右図の黄色の部分


　　これらを合わせた部分が、求める立体Vを平面　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=k\end{align*}}$ で切断したときの断面を表す。
　　その断面積を　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(k)\end{align*}}$ とすると、平行四辺形から左下隅の部分を除けばよいので、　

　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(k)=1\cdot 1-\int_{-2 k}^{-k}\bigg\{\frac {y^2}{4 k} -(-y-k)\bigg\} dy-\int_{-k}^{0}\frac{y^2}{4k} dy\end{align*}}$
　　これを計算すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S(k)=1-\frac{k^2}{6}\end{align*}}$

　　よって、求める体積は、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_{0}^{1}S(k)dk\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{0}^{1}\left(1-\frac{k^2}{6} \right) dk\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{17}{18}\end{align*}}$
　　

　　以上で、2011年度の東大の問題は終わりです。個人的には3の計算がイヤだったのと、
　　6(3)が考えにくかった以外は、まぁ普通かなぁといった印象です。
　　さて、次はどこの問題にしましょうかね＾＾