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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2019大阪大 理系数学1



第1問

  以下の問いに答えよ。ただし、$\small{\sf\log }$ は自然対数、eはその底とする。

 (1) bを実数とする。関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f(x)=\int_x^be^{-\frac{t^2}{2}}dt-\frac{x}{x^2+1}e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
    は単調に減少することを示せ。

 (2) a≦bを満たす正の実数a、bに対し、不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{a}{a^2+1}e^{-\frac{a^2}{2}}-\frac{b}{b^2+1}e^{-\frac{b^2}{2}}\leqq\int_a^be^{-\frac{t^2}{2}}dt\leqq e^{-\frac{a^2}{2}}\left(b-a\right)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) 数列$\small{\rm I_{\sf n}}$ を次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*}\rm I_{\sf n}\sf =\int_1^2e^{-\frac{nt^2}{2}}dt\ \ \ (n=1,2,3,\cdots ) \end{align*}}$
    このとき極限$\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log\rm I_{\sf n}\end{align*}}$
    を求めよ。ただし、
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log \left(n+1\right)=0\end{align*}}$
    を用いてもよい。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2019/06/08(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2019
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